线性回归模型（Linear Regression）及Python实现

线性回归模型（Linear Regression）及Python实现

http://www.cnblogs.com/sumai

1.模型

对于一份数据，它有两个变量，分别是Petal.Width和Sepal.Length，画出它们的散点图。我们希望可以构建一个函数去预测Sepal.Length，当我们输入Petal.Width时，可以返回一个预测的Sepal.Length。从散点图可以发现，可以用一条直线去拟合，这时我们可以构建一元线性回归模型：h_θ(x) = θ₀ + θ₁x₁ (x₁= Petal.Width)。当然，如果我们的特征X不止一个的话，我们可以构造多元线性回归模型，h_θ(x) = ∑θ_ix_i (i = 0,...,n , x₀ = 1)。

2.评价

对于上述的线性回归模型h_θ(x)，我们需要求出θ来。可以想象，参数θ的取值有无数多种，那么我们应该怎么样选取合适的参数θ？ 直观的去理解，我们希望估计出来的h_θ(x)与实际的Y值尽量的靠近，因此我们可以定义一个损失函数J(θ) = (1/2m)∑(h_θ(x⁽ⁱ⁾) − y⁽ⁱ⁾)²，m为样本量。当然，损失函数可以有很多种定义方法，这种损失函数是最为经典的，由此得到的线性回归模型称为普通最小二乘回归模型(OLS)。

3.优化

我们已经定义好了损失函数J(θ)，接下来的任务就是求出参数θ。我们的目标很明确，就是找到一组θ，使得我们的损失函数J(θ)最小。最常用的求解方法有两种：批量梯度下降法(batch gradient descent)， 正规方程方法(normal equations)。 前者是一种通过迭代求得的数值解，后者是一种通过的公式一步到位求得的解析解。在特征个数不太多的情况下，后者的速度较快，一旦特征的个数成千上万的时候，前者的速度较快。另外，先对特征标准化可以加快求解速度。

　批量梯度下降法：θ_j := θ_j − α· ∂J(θ)/∂θ_j  (j = 0,1,...,n, α为学习速率, J(θ)/∂θ_j 为J的偏导数)  不断同时更新θ_j直到收敛

   正规方程法：θ = (X^TX)⁻¹X^TY

4.python代码实现

 # -*- coding: utf-8 -*-
 """
 Created on Tue Feb 23 16:06:54 2016

 @author: SumaiWong
 """

 import numpy as np
 import pandas as pd
 from numpy.linalg import inv
 from numpy import dot

 iris = pd.read_csv('iris.csv')
 # 拟合线性模型： Sepal.Length ~ Sepal.Width + Petal.Length + Petal.Width

 # 正规方程法
 temp = iris.iloc[:, 1:4]
 temp['x0'] = 1
 X = temp.iloc[:,[3,0,1,2]]
 Y = iris.iloc[:, 0]
 Y = Y.reshape(len(iris), 1)
 theta_n = dot(dot(inv(dot(X.T, X)), X.T), Y) # theta = (X'X)^(-1)X'Y
 print theta_n

 #批量梯度下降法
 theta_g = np.array([1., 1., 1., 1.]) #初始化theta
 theta_g = theta_g.reshape(4, 1)
 alpha = 0.1
 temp = theta_g
 X0 = X.iloc[:, 0].reshape(150, 1)
 X1 = X.iloc[:, 1].reshape(150, 1)
 X2 = X.iloc[:, 2].reshape(150, 1)
 X3 = X.iloc[:, 3].reshape(150, 1)
 J = pd.Series(np.arange(800, dtype = float))
 for i in range(800):
 # theta j := theta j + alpha*(yi - h(xi))*xi
     temp[0] = theta_g[0] + alpha*np.sum((Y- dot(X, theta_g))*X0)/150.
     temp[1] = theta_g[1] + alpha*np.sum((Y- dot(X, theta_g))*X1)/150.
     temp[2] = theta_g[2] + alpha*np.sum((Y- dot(X, theta_g))*X2)/150.
     temp[3] = theta_g[3] + alpha*np.sum((Y- dot(X, theta_g))*X3)/150.
     J[i] = 0.5*np.sum((Y - dot(X, theta_g))**2) #计算损失函数值
     theta_g = temp #更新theta

 print theta_g
 print J.plot(ylim = [0, 50])

代码所用的数据下载地址：http://files.cnblogs.com/files/sumai/iris.rar

5.局部加权回归（LWR）

当遇到类似下面情况的数据时，我们用简单的线性回归去拟合的话显然不合适，这时候局部加权回归就适用了。局部加权回归的思想是重点考虑你输入特征X附近的情况，同时不那么重视离你输入特征较远的情况，这就是所谓的“局部加权”。如下图所示，当我们要预测X大约为-1时，Y的值。这时候我就重点考虑X=-1附近的点，然后拟合出回归直线，作出预测。

局部加权回归的损失函数为：

与线性回归的损失函数相比，多了一个w权值。其中 x 是要预测的特征，这样假设的道理是离 x 越近的样本权重越大，越远的影响越小。τ是带宽参数，用来调节“局部”的大小。
　　

求出参数θ的方法有以下两种

批量梯度下降法：θ_j := θ_j − α· ∂J(θ)/∂θ_j  (j = 0,1,...,n, α为学习速率, J(θ)/∂θ_j 为J的偏导数)  不断同时更新θ_j直到收敛

   正规方程法：