本文为博主原创文章,欢迎转载,请注明出处 www.cnblogs.com/yangyaojia

题目大意

求解一组同余方程

x ≡ r1 (mod a1)

x ≡ r2 (mod a2)

x ≡ r3 (mod a3)

......

x ≡ rk (mod ak)

的解x(a1,a2,a3,.....ak 并不一定互质)。如果不存在则输出-1.

输入格式

有多组数据,每组数组第一行为k,后面有k行,每行两个数,代表ai,ri。

输出格式

每一行对应每一个询问的解x。

样例输入

2

8 7

11 9

样例输出

31

分析

看到这一题,可以发现好像问的就是中国剩余定理的问题,可是题目中a并不互质,无法用中国剩余定理来解决。不过我们可以从扩展欧几里德算法入手。

先来分析规模小一点的。

对于一组同余方程

\(\begin {cases} x \mod a_1=r_1\\ x\mod a_2=r_2\end{cases}\to\begin{cases}k_1*a_1+r_1=x\\ k_2* a_2+r_2=x\end {cases}\)

我们可以上下两式相减得出

$ k_1* a_1-k_2* a_2=r_2-r_1$

我们可以发现,这个式子可以用扩展欧几里德来求解。于是我们求出了\(k_1\)

便可以将其带入原来的式子,求出\(x=k_1*a_1+r_1\)。这是两个方程的求解,面对多个方程,我们可以这样做:

假设我们刚才求出的是\(x_1\),而为了求出满足三个方程的解\(x_2\)我们可以得到这样的式子

\(\begin {cases} x_2\mod lcm(a_1,a_2)=x_1\\ x_2\mod a_3=r_3\end{cases}\)

证明:

\(x_2=k_3*lcm(a_1,a_2)+x_1\) ,因为\(k_3*lcm(a_1,a_2)\)这一块肯定能整除\(a_1\)或\(a_2\),所以肯定会剩下一个\(c_1\),而\(c_1\)恰好满足前面的方程

用同样的方法,我们可以求出满足所有式子的解。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <climits>
#define MAXN 10000+10
#define abs(a) a>0?a:-a
using namespace std;
long long e_gcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y)
{
if(!b)
{
x=1;y=0;
return a;
}
long long ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
long long tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
return ans;
}
long long a1,a2,b1,b2,x,y,gcd,t,c;
int main()
{
while(scanf("%lld",&t)!=EOF)
{
scanf("%lld%lld",&a1,&b1);
int flag=0;
if(t==1)
printf("%lld\n",b1);
else
{
for(int i=2;i<=t;i++)
{
scanf("%lld%lld",&a2,&b2);
if(flag) continue;
gcd=e_gcd(a1,a2,x,y);
if((b2-b1)%gcd!=0) {flag=1;}
x*=(b2-b1)/gcd;
x%=a2/gcd;
if(x<0) x+=abs(a2/gcd);
c=a1*x+b1;
a1=a1/gcd*a2; b1=c;
}
}
if(flag==1) {printf("-1\n");continue;}
printf("%lld\n",c); } return 0;
}

POJ2891 Strange Way to Express Integers (扩展欧几里德)的更多相关文章

  1. POJ2891 Strange Way to Express Integers 扩展欧几里德 中国剩余定理

    欢迎访问~原文出处——博客园-zhouzhendong 去博客园看该题解 题目传送门 - POJ2891 题意概括 给出k个同余方程组:x mod ai = ri.求x的最小正值.如果不存在这样的x, ...

  2. [poj2891]Strange Way to Express Integers(扩展中国剩余定理)

    题意:求解一般模线性同余方程组 解题关键:扩展中国剩余定理求解.两两求解. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {r_1}\,\bmod \,{m_1}}\\{ ...

  3. 中国剩余定理+扩展中国剩余定理 讲解+例题(HDU1370 Biorhythms + POJ2891 Strange Way to Express Integers)

    0.引子 每一个讲中国剩余定理的人,都会从孙子的一道例题讲起 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 1.中国剩余定理 引子里的例题实际上是求一个最小的x满足 关键是,其中 ...

  4. POJ2891——Strange Way to Express Integers(模线性方程组)

    Strange Way to Express Integers DescriptionElina is reading a book written by Rujia Liu, which intro ...

  5. POJ2891 Strange Way to Express Integers

    题意 Language:Default Strange Way to Express Integers Time Limit: 1000MS Memory Limit: 131072K Total S ...

  6. P4777 【模板】扩展中国剩余定理(EXCRT)/ poj2891 Strange Way to Express Integers

    P4777 [模板]扩展中国剩余定理(EXCRT) excrt模板 我们知道,crt无法处理模数不两两互质的情况 然鹅excrt可以 设当前解到第 i 个方程 设$M=\prod_{j=1}^{i-1 ...

  7. POJ2891 Strange Way to Express Integers【扩展中国剩余定理】

    题目大意 就是模板...没啥好说的 思路 因为模数不互质,所以直接中国剩余定理肯定是不对的 然后就考虑怎么合并两个同余方程 \(ans = a_1 + x_1 * m_1 = a_2 + x_2 * ...

  8. POJ.2891.Strange Way to Express Integers(扩展CRT)

    题目链接 扩展中国剩余定理:1(直观的).2(详细证明). [Upd:]https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4774 #include <cst ...

  9. POJ - 2891 Strange Way to Express Integers (扩展中国剩余定理)

    题目链接 扩展CRT模板题,原理及证明见传送门(引用) #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; ty ...

随机推荐

  1. struts配置

    创建struts2的应用,首先应如前面所示要搭建好环境.jar包的导入和web.xml配置这里不在写出来.  如上所示,struts2中是采用<package>元素来管理Action的,包 ...

  2. CF55C. Pie or die

    /* CF55C. Pie or die http://codeforces.com/problemset/problem/55/C 博弈论 乱搞 获胜条件是存在一个棋子到边界的值小于5 */ #in ...

  3. 基本SQL查询

    当在数据库的表中存入数据后,就可以查询这些已经存入的数据.下面学习基本SQL查询 本节要点: l  如何使用select语句 Select语句的语法 SELECT语句中的运算 使用DISTINCT和U ...

  4. .NET平台开源JSON库LitJSON的使用方法

    下载地址:LitJson.dll下载 一个简单示例: String str = "{'name':'cyf','id':10,'items':[{'itemid':1001,'itemnam ...

  5. 多线程程序调用fork的现象

  6. WebGL 权威资源站小聚

    WebGL 权威资源站小聚 太阳火神的漂亮人生 (http://blog.csdn.net/opengl_es) 本文遵循"署名-非商业用途-保持一致"创作公用协议 转载请保留此句 ...

  7. 朴素的UNIX之-调度器细节

    0.多进程调度的本质 我们都知道UNIX上有一个著名的nice调用.何谓nice,当然是"好"了.常规的想法是nice值越大越好,实际上,nice值越好,自己的优先级越低.那么为何 ...

  8. ubuntu16.04 安装 docker-compose

    下载安装 docker-composecurl -L https://github.com/docker/compose/releases/download/1.15.0/docker-compose ...

  9. 彻底解决降级安装失败无法彻底卸载应用bug

    彻底解决魅族手机无法彻底卸载应用bug使用Flyme系统的同学可能会遇到一个问题:卸载了某些软件(例如通过开发者模式调试安装的应用)后,实际这个应用还残留在系统,当你用低版本或者其他签名的apk覆盖安 ...

  10. Android设计模式——单例模式

    1.单例模式就是确保一个类,只有一个实例化对象,而且自行实例化并向整个系统提供这个实例. 2.使用场景: 确保某个类,有且只有一个对象,避免产生对个对象,消耗过多的资源. 2.实现单例模式的重要点: ...