HDU_1024.MaxSumPlusPlus(基础DP + 滚动数组优化讲解)

　　这道题打破了我常规的做题思路，因为这是我刚开始训练DP，感觉这道题目好晕眼呀，emm其实就是感觉自己是真的菜......

　　为什么说打破了我的做题思路呢，因为我平时看题解都是在已经AC或者完全不懂的情况下看了题解用的知识点，然后再自学知识点完成题目，结果这次.......我是真的鸡...

　　好了言归正传，看了刘汝佳大佬的线性dp和滚动数组类型的内容，也有一定的了解，下面我会解释什么情况下可以滚动数组降维减少空间复杂度，那么又该如何降维呢？

　　

　　本题大意：给定一个数字m和n个数字，让你求出这n个数字分为m份的和的最大值，具体分割要求见题目。

　　

　　本题思路：很显然就是dp了，由于题目要求是求将n个数字分割成m部分的和的最大值，那么从dp[ m ][ n ]开始考虑，dp[ m ][ n ]只与第n个数字的状态有关，我们可以先试着写一下状态转移方程

　　dp[ i ][ j ] = max(dp[ i ][j - 1], dp[i - 1][ k ]) + a[ j ])( k >= 1 && k <= j - 1), 显然这个式子中有两部分，即当第 j 项直接加到j - 1项后面时为dp[ i ][ j ] = dp[ i ][j - 1] + a[ j ]，当不直接加入时则第 j 项作为第 i 个子序列的开头，则dp[ i ][ j ] =  dp[i - 1][ k ] + a[ j ]。我们选择将第 i 个子序列与 第 i - 1个子序列中的最大值合并，我们将每次得到的最优值更新并保存即可。

　　题目只给了32MB的空间，二维数组是不可能二维数组的了，顶多是滚动数组优化一下这样子......

　　参考代码：

 //dp[i][j] 表示第j个数字在第i个序列时的最优值
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 using namespace std;

 const int N = 1e6 + , INF = 0x3f3f3f3f;
 int a[N], dk[N], dp[N];

 int main () {
     int m, n, maxn;
     while(cin >> m >> n) {
         for(int i = ; i <= n; i ++)
             cin >> a[i];
         memset(dk, , sizeof dk);
         memset(dp, , sizeof dp);
         for(int i = ; i <= m; i ++) {
             maxn = -INF;//初始化
             for(int j = i; j <= n; j ++) {
                 cout << dk[j - ] << '\t';
                 if(i == j) dp[j] = dk[j - ] + a[j];//第i个元素只能作为第i个子序列的第一个元素
                 else dp[j] = max(dp[j - ] + a[j], dk[j - ] + a[j]);//选择两种决策中的最大值(直接接到j - 1后面或者以j再作为新的开头)
                 dk[j - ] = maxn;//maxn保存的是第j - 1位置的最优值
                 if(maxn < dp[j]) maxn = dp[j];//如果遇到更优的值则更新
                 //dk[j] = maxn;//那么我们为什么不这样呢，如果我们更新第j项那么意味着我们在下次计算dp[j + 1]时用到的dk[j] = dp[j] ??? 这明显与我们的状态转移方程不符合
                 //因为我们更新dp[j]时用到的是dk[j - 1]，那我们只需要更新这个值即可。
             }
             cout << endl;
         }
         cout << maxn << endl;
     }
     return ;
 }

　　很容易可以看出，第 i 个子序列的最优值只与第i - 1层他对应的最优值有关，则对于dp[ i ][ j ] = max(dp[ i ][j - 1], dp[i - 1][ k ]) + a[ j ])，我们可以看出，只需要在遍历的时候依次访问他的子序列长度即可，并不需要保存每层的最优值，因为长度为 i 的子序列的最优解可以由第i - 1层的最优解得来，因此我们只需要保存一层的最优解，然后在计算下一层的最优解时更新保存的值即可......。

　　我们可以用一个一维数组来保存我们在第i - 1层中遇到的最大值。切记是第i - 1层。