【IT笔试面试题整理】丑数

【试题描述】我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数。求按从到大的顺序的第1500个丑数。例如6,8是丑数，而14不是，因为它包含因子7.习惯上把1当作第一个丑数。

根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。那关键就是确保数组里的丑数是有序的了。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。

接下来我们换一种思路来分析这个问题，试图只计算丑数，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。

这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M₂。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M₃和M₅。那么下一个丑数应该是M₂、M₃和M₅三个数的最小者。

前面我们分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5，事实上是不需要的，因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T₂，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T₂。对乘以3和5而言，存在着同样的T₃和T₅。

【参考代码】

 1 int Min(int a, int b, int c) {
 2
 3     return (a < b ? a : b) < c ? (a < b ? a : b) : c;
 4 }
 5
 6 int uglyNumber(int n) {
 7
 8     if(n <= 0) {
 9         throw ("Invalid Input.");
10     }
11
12     long* uglyNum = new long[n];
13     uglyNum[0] = 1;
14
15     int index2 = 0;
16     int index3 = 0;
17     int index5 = 0;
18     int indexLast = 0;
19
20     while(indexLast < n) {
21         int min = Min(uglyNum[index2] * 2, uglyNum[index3] * 3, uglyNum[index5] * 5);
22         uglyNum[++indexLast] = min;
23
24         while(uglyNum[index2] * 2 <= uglyNum[indexLast]) {
25             index2++;
26         }
27
28         while(uglyNum[index3] * 3 <= uglyNum[indexLast]) {
29             index3++;
30         }
31
32         while(uglyNum[index5] * 5 <= uglyNum[indexLast]) {
33             index5++;
34         }
35     }
36
37     return uglyNum[n - 1];
38
39 }
40
41