[清华集训2015 Day1]玛里苟斯-[线性基]

Description

Solution

考虑k=1的情况。假设所有数中，第i位为1的数的个数为x，则最后所有的子集异或结果中，第i位为1的个数为$(C_{k}^{1}+C_{k}^{3}+...)$*2^{原本的数中第i位为0的数的个数}。同理，所有子集异或结果中第i位为0的个数为$(C_{k}^{0}+C_{k}^{2}+...)$*2^{原本的数中第i位为0的数的个数。}

由于二项式定理，可得前后两个式子大小相等。即对于每一位i，如果该位有某个（些）数为1,ans+=10^i-1/2。

k=2同理。

对于k>2，我们发现假如某个数能够由其他若干个数异或而得，那么把这个数删掉对答案没有影响。可以用线性基。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+;
typedef unsigned long long ull;
int n,k,R;ull a[N];
ull b[];int cnt;
ull _ans,_res;
void dfs(int x,ull c)
{
    if (x==cnt+)
    {
        ull num=,yu=;
        for (int i=;i<=k;i++)
        {
            num*=c;yu*=c;
            num+=yu>>cnt;yu&=R;
        }
        _res+=yu;
        _ans+=num+(_res>>cnt);
        _res&=R;
        return;
    }
    dfs(x+,c);
    dfs(x+,c^b[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (int i=;i<=n;i++) scanf("%llu",&a[i]);
    if (k==)
    {
        ull t=;
        for (int i=;i<=n;i++) t|=a[i];
        printf("%llu%s",t>>,t&?".5":);return ;
    }
    if (k==)
    {
        ull t=,ans=;
        for (int i=;i<=n;i++) t|=a[i];
        for (int i=;i<;i++) for (int j=i;j<;j++)
        if (t>>i&&t>>j) ans+=1ull<<(i+j);
        printf("%llu%s",ans>>,ans&?".5":);return ;
    }
    ull t[];
    memset(t,,sizeof(t));
    for (int i=;i<=n;i++)
    for (int j=;j>=;j--)
    {
        if (a[i]&(<<j)) if (!t[j]) {t[j]=a[i];break;}
        a[i]^=t[j];
    }
    for (int i=;i<=;i++) if (t[i]) b[++cnt]=t[i];
    R=(<<cnt)-;
    dfs(,);
    if (_res) printf("%llu.5",_ans);else printf("%llu",_ans);
}