\[\Large\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}}{n^{2}}=\frac{19}{24}\zeta(6)+\zeta^{2}(3)\]


\(\Large\mathbf{Proof:}\)
We use the Abel's rearrangement over the \(N\)-th partial sum of the series,
\[\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{\left(H_n^{(2)}\right)^2}{n^2} &= \sum\limits_{n=1}^{N-1} \left[\left(H_n^{(2)}\right)^2-\left(H_{n+1}^{(2)}\right)^2\right]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}+\left(H_N^{(2)}\right)^2\sum\limits_{k=1}^{N} \frac{1}{k^2}\\&= \left(H_N^{(2)}\right)^3 - \sum\limits_{n=0}^{N-1} \frac{\left(H_n^{(2)}+H_{n+1}^{(2)}\right)H_n^{(2)}}{(n+1)^2}\\
&= \left(H_N^{(2)}\right)^3 - \sum\limits_{n=1}^{N} \frac{\left(2H_n^{(2)}-\dfrac{1}{n^2}\right)\left(H_n^{(2)}-\dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2}\\&= \left(H_N^{(2)}\right)^3 - \sum\limits_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2}\left(2\left(H_n^{(2)}\right)^2-3\frac{H_n^{(2)}}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)\\
&= \frac{1}{3}\left(H_N^{(2)}\right)^3+\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{H_n^{(2)}}{n^4}-\frac{1}{3}\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^6}\end{align*}\]
I.e.,\(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(H_n^{(2)}\right)^2}{n^2} = \frac{1}{3}\zeta(2)^3+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{(2)}}{n^4}-\frac{1}{3}\zeta(6)\)
M.N.S.E showed in this answer one way of dealing with \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{(2)}}{n^4} = \zeta(3)^2 - \frac{1}{3}\zeta(6)\). Combining the results lead to,
\[\Large\boxed{\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\left(H_n^{(2)}\right)^2}{n^2} = \color{blue}{\zeta(3)^2 + \frac{19}{24}\zeta(6)}}\]

Euler Sums系列(三)的更多相关文章

  1. Euler Sums系列(六)

    \[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{2n}}{n(6n+1)}\] \(\Large\mathbf{Solution:}\) Let \ ...

  2. Euler Sums系列(五)

    \[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\widetilde{H_n}}{n^{3}}\] where \(\widetilde{H_n}\) ...

  3. Euler Sums系列(一)

    \[\Large\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{2^nn^4}\] \(\Large\mathbf{Solution:}\) Let \[\mathcal{S}=\s ...

  4. Euler Sums系列(四)

    \[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{H_n}{2n+1}=\mathbf{G}-\frac{\pi}{2}\ln(2)\] \(\ ...

  5. Euler Sums系列(二)

    \[\Large\sum_{n=0}^\infty \frac{H_{2n+1}}{(2n+1)^2}=\frac{21}{16}\zeta(3)\] \(\Large\mathbf{Proof:}\ ...

  6. 前端构建大法 Gulp 系列 (三):gulp的4个API 让你成为gulp专家

    系列目录 前端构建大法 Gulp 系列 (一):为什么需要前端构建 前端构建大法 Gulp 系列 (二):为什么选择gulp 前端构建大法 Gulp 系列 (三):gulp的4个API 让你成为gul ...

  7. Web 开发人员和设计师必读文章推荐【系列三十】

    <Web 前端开发精华文章推荐>2014年第9期(总第30期)和大家见面了.梦想天空博客关注 前端开发 技术,分享各类能够提升网站用户体验的优秀 jQuery 插件,展示前沿的 HTML5 ...

  8. MyBatis学习系列三——结合Spring

    目录 MyBatis学习系列一之环境搭建 MyBatis学习系列二——增删改查 MyBatis学习系列三——结合Spring MyBatis在项目中应用一般都要结合Spring,这一章主要把MyBat ...

  9. MySQL并发复制系列三:MySQL和MariaDB实现对比

    http://blog.itpub.net/28218939/viewspace-1975856/ 并发复制(Parallel Replication) 系列三:MySQL 5.7 和MariaDB ...

随机推荐

  1. java基础(十一)之抽象类和抽象函数

    1.抽象函数的语法特征2.抽象类的语法特征3.抽象类的作用 抽象函数 只有函数的定义,没有函数体的函数被称为抽象函数: abstract void func(); 抽象类 使用abstract定义的类 ...

  2. Swagger-ui接口文档

    参考地址 https://github.com/swagger-api/swagger-core/wiki/Annotations-1.5.X#quick-annotation-overview   ...

  3. FreeRTOS学习笔记3:内核控制及开启调度器

    内核控制函数API 应用层中不会用到taskYIELD() //任务切换.会自动切换当前就绪表里优先级最高的任务 临界区 //不能被打断的代码段任务中进入临界区任务中退出临界区中断服务进入临界区中断服 ...

  4. 主库增加表空间导致DG同步失败

    由于主库表空间不足,同事给表空间增加数据文件,第二天收到反馈说备库未同步. 1.主.备查看归档序列号,发现主.备归档正常同步. SQL>archive log list 2.在主库端查询v$ar ...

  5. ajax和promise及axios和promise的结合

    链接:https://www.cnblogs.com/mmykdbc/p/10345108.html 链接2:https://blog.csdn.net/UtopiaOfArtoria/article ...

  6. 特征值 特征向量 正交分解 PCA

    无意间想到的,有时间会补充内容. 还记得学线性代数时计算矩阵的特征值和特征向量,然后这个矩阵就可以用这个特征值和特征向量表示. 这样就可以理解成矩阵其实是多个向量拼在一起的,这样就可以将矩阵和向量建立 ...

  7. 微信小程序使用wxParse实现接入富文本编辑

    简介 微信小程序中比如活动说明,简介这样的图文介绍说明页面,后台通常配置成富文本编辑框,由后台直接输入内容,然后在小程序界面展现. 但是富文本编辑提取到内容是html格式的,写法与小程序的wxml并不 ...

  8. mac登录窗口出现白框问题解决

    昨天早上起床打开电脑,发现登录窗口的界面出现了大半边的白框,如下图,可是昨晚上关机前还是好好的,而且新电脑不至于啥也没干屏幕就出问题. 输入密码进入桌面,OK,不是屏幕的问题,那为什么会出现白框呢? ...

  9. URLEncode和URLDecode

    URLEncode.encode(String s,String utf-8) 编码 URLDEcode.decode(String %2b%,String utf-8) 解码 用法: String ...

  10. 使用dockerfile构建镜像并在容器中安装软件遇到的问题

    今天想在容器中安装一个pigz插件,于是就在dockerfile中使用RUN命令RUN apt-get install -y pigz结果构建镜像的时候报错Unable to locate packa ...