[USACO2005 nov] Grazing on the Run【区间Dp】

Online Judge：bzoj1742，bzoj1694

Label：区间Dp

题目描述

John养了一只叫Joseph的奶牛。一次她去放牛，来到一个非常长的一片地，上面有N块地方长了茂盛的草。我们可以认为草地是一个数轴上的一些点。Joseph看到这些草非常兴奋，它想把它们全部吃光。于是它开始左右行走，吃草。John和Joseph开始的时候站在p位置。Joseph的移动速度是一个单位时间一个单位距离。不幸的是，草如果长时间不吃，就会腐败。我们定义一堆草的腐败值是从Joseph开始吃草到吃到这堆草的总时间。Joseph可不想吃太腐败的草，它请John帮它安排一个路线，使得它吃完所有的草后，总腐败值最小。John的数学很烂，她不知道该怎样做，你能帮她么？

输入

第一行两个整数N，p。表示有N处草地，奶牛初始位置为p。(\(N<=1000\))

接下来N行每行输入一个整数x，表示该处草地的坐标为x。(\(1<=x,p<=1,000,000\))

输出

输出一个整数，表示最小总腐败值。

样例

Input

Output

Hint

OUTPUT DETAILS:

Bessie can follow this route:

start at position 10 at time 0
move to position 9, arriving at time 1
move to position 11, arriving at time 3
move to position 19, arriving at time 11
move to position 1, arriving at time 29

giving her a total staleness of 1+3+11+29 = 44. There are other routes

with the same total staleness, but no route with a smaller one.

题解

大致题意就是，你的初始坐标为\(x\)，你要去数轴上的\(n\)个点，问你到达所有点的时间总和最小是多少。

直接贪心不可行，所以考虑dp。

坐标什么的先离散了再说：)，两点的距离可以直接预处理出来\(dis[i][j]=abs(a[i]-a[j])\)。

接下来考虑如何dp。

关注到一个性质，如果到目前为止，奶牛吃过最左的草堆编号为\(l\)，吃过最右的草堆编号为\(r\)，则如果奶牛不是傻它肯定把\([l,r]\)的草堆都吃过了，因为它吃草速度是瞬时的，都经过了肯定要嫖一口。

那很明显应该是个区间dp了。

不难定义出状态\(f[0/1][i][j]\)表示已经吃完\([i,j]\)的草了，且现在在左端i(0)，在右端j(1)，所需的最少时间和。

转移根据意义模拟一下就好了，假如我现在从区间的某端\(k\)转移到某点\(l\)，则花去时间为\(dis[k][l]\)，在这个时间内除了区间\([i,j]\)，其他所有草堆的腐败值都增加了1。

具体转移顺序可以打个记搜。也可以直接循环转移——枚举区间长度，再枚举左端点。然后对于这道题内部再分类讨论一下处于左右端位置即可。时间复杂度为\(O(N^2)\)。

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1005,INF=0x3f3f3f3f;
int a[N],dis[N][N],f[N][N][2];
int n;
inline void Do(int &x,int y){(x>y)&&(x=y);}
signed main(){
	int x;
	scanf("%lld%lld",&n,&x);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	a[++n]=x;
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)dis[i][j]=abs(a[i]-a[j]);
	int st=lower_bound(a+1,a+n+1,x)-a;	
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[st][st][0]=f[st][st][1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int l=1;l+i-1<=n;l++){
		int r=l+i-1;
		if(f[l][r][0]<INF){
			if(l!=1)Do(f[l-1][r][0],f[l][r][0]+dis[l-1][l]*(n-i));
			if(r!=n)Do(f[l][r+1][1],f[l][r][0]+dis[l][r+1]*(n-i));
		}
		if(f[l][r][1]<INF){
			if(l!=1)Do(f[l-1][r][0],f[l][r][1]+dis[r][l-1]*(n-i));
			if(r!=n)Do(f[l][r+1][1],f[l][r][1]+dis[r][r+1]*(n-i));
		}
	}
	printf("%lld\n",min(f[1][n][0],f[1][n][1]));
}

update

本题的几个升级版

1.SDOI2008 Sue的小球

2.Baltic2009 beetle