ST（RMQ）算法（在线）求LCA

在此之前，我写过另一篇博客，是倍增（在线）求LCA。有兴趣的同学可以去看一看。概念以及各种暴力就不在这里说了，那篇博客已经有介绍了。

不会ST算法的同学点这里

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ST（RMQ）算法在线求LCA

这个算法的思想，就是将LCA问题转化成RMQ问题。

怎么将LCA转成RMQ？

我们首先用dfsO(N)遍历一遍。比如下图：



得到一个dfs序（从儿子回到父亲也要算一遍）：

1->2->4->7->4->8->4->2->5->2->6->9->6->10->6->2->1->3->1

可以简单地理解成这样：你一开始在根节点，一直向下走，发现尽头就倒退，向另一个方向走。最后你还会回到根节点。你遍历这个树的顺序就是一个这样的dfs序。

有没有发现什么规律?

设r[x]表示x在这个dfs序当中第一次出现的位置，deep[x]表示x的深度。

那么可以发现，如果要求x和y的LCA，r[x]~r[y]这一段区间内一定有它们的LCA，而且还是区间中深度最小的那个。

这是为什么？

只要你懂dfs，简单思考一下就能明白。到达x点后，再到y点，必须经过过它们的LCA，因为这是一棵树，两个点之间有且只有一条路径。

为什么它在区间中深度最小？

因为dfs的原因，遍历以LCA(x,y)为根的子树时，不遍历完所有以LCA(x,y)为根的点是不会回去的。然而x、y一定在以LCA(x,y)为根的子树当中，所以这也是成立的。

具体怎么做?

首先，用dfsO(n)求出dfs序、r数组和deep数组。

然后，套一个纯的ST（RMQ）。设f[i][j]表示j~j+2^i-1的点当中，deep值最小的是哪个。

预处理做完了，接下来就可以在线O(1)回答询问了。

注意事项

这个dfs序长度是2n-1的，原因：每个点经过的次数=儿子个数+1。那么所有点的儿子个数一共有n-1，因为没有根节点。所有是2n-1的。

在线O(1)回答的时候，有的人求对数使用log(x)/log(2)的形式。实际上没必要，因为C++中有个东西叫log2，直接用就好。

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代码实现

例题 P3379【模板】最近公共祖先（LCA）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,_n,m,s;//_n是用来放元素进dfs序里，最终_n=2n-1
struct EDGE
{
    int to;
    EDGE* las;
} e[1000001];//前向星存边
EDGE* last[500001];
int sx[1000001];//顺序，为dfs序
int f[21][1000001];//用于ST算法
int deep[500001];//深度
int r[500001];//第一次出现的位置
void dfs(int,int,int);
int min(int a,int b){return deep[a]<deep[b]?a:b;}
int query(int,int);
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    int i,j=0,x,y;
    for (i=1;i<n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        e[++j]={y,last[x]};
        last[x]=e+j;
        e[++j]={x,last[y]};
        last[y]=e+j;
    }
    dfs(s,0,0);
    //以下是ST算法
    for (i=1;i<=_n;++i)
        f[0][i]=sx[i];
    int ni=int(log2(_n)),nj,tmp;
    for (i=1;i<=ni;++i)
    {
        nj=_n+1-(1<<i);
        tmp=1<<i-1;
        for (j=1;j<=nj;++j)
            f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][j+tmp]);
    }
    //以下是询问，对于每次询问，可以O(1)回答
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",query(r[x],r[y]));
    }
}
void dfs(int t,int fa,int de)
{
    sx[++_n]=t;
    r[t]=_n;
    deep[t]=de;
    EDGE* ei;
    for (ei=last[t];ei;ei=ei->las)
        if (ei->to!=fa)
        {
            dfs(ei->to,t,de+1);
            sx[++_n]=t;
        }
}
int query(int l,int r)
{
    if (l>r)
    {
        //交换
        l^=r;
        r^=l;
        l^=r;
    }
    int k=int(log2(r-l+1));
    return min(f[k][l],f[k][r-(1<<k)+1]);
}