Codeforces 893E - Counting Arrays
思路:质因子分解。
对于每个质因子,假设它有k个,那么求把它分配到y个数上的方案数。
相当于把k个小球分配到y个盒子里的方案数。
这个问题可以用隔板法(插空法)解决,要把一段分成y段,需要y-1个隔板,那么有y-1+k个位置,选y-1个位置为隔板,剩下的都是小球,那么方案数为C(y-1+k,y-1)。
如果全为正数,答案就是所有质因子方案数的积。
但是这道题目可以为负数,那么在这y个数里选偶数个变成负数
答案还要乘以C(y,0)+C(y,2)+C(y,4)+C(y,6)+... ③
这个问题是初中组合数的一个经典问题,
设(1+x)^y=C(y,0)*x^0+C(y,1)*x^1+...+C(y,y-1)*x^(y-1)+C(y,y)*x^y
当x=1时,C(y,0)+C(y,1)+...+C(y,y-1)+C(y,y)=2^y ①
当x=-1时,C(y,0)-C(y,1)+C(y,2)-C(y-3)+...=0 ②
①+②=2*③
③式为2^(y-1)
代码:
By ZhihuiLiu, contest: Educational Codeforces Round (Rated for Div. ), problem: (E) Counting Arrays, Accepted, #, hack it! #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) const int MOD=1e9+;
const int N=1e6+;
ll fac[*N];
ll q_pow(ll n,ll k)
{
ll ans=;
while(k)
{
if(k&)ans=(ans*n)%MOD;
n=(n*n)%MOD;
k>>=;
}
return ans;
}
void init()
{
fac[]=;
for(int i=;i<*N;i++)fac[i]=(fac[i-]*i)%MOD;
}
ll C(ll n,ll m)
{
return (fac[n]*q_pow(fac[m],MOD-))%MOD*q_pow(fac[n-m],MOD-)%MOD;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie();
int q,x,y;
init();
cin>>q;
while(q--)
{
cin>>x>>y;
int c=;
ll ans=q_pow(,y-);
for(int i=;i*i<=x;i++)
{
if(x%i==)
{
int t=;
while(x%i==)
{
t++;
x/=i;
}
ans=(ans*C(t+y-,t))%MOD;
}
}
if(x>)ans=(ans*y)%MOD;
cout<<ans<<endl;
}
return ;
}
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