ZOJ 3329 One Person Game （经典概率dp+有环方程求解）

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3329

题意：
现在有三个骰子，分别有k1，k2和k3面，面上的点就是1~ki。每次扔骰子，如果这三个骰子的值分别对应为a，b，c，那么将值初始化为0，否则就将三个骰子的点值和相加。求大于等于n的扔骰子次数期望。

思路：

这道题目主要在于推公式，看着别人的题解想了好久。

先设$E(i)$为此时和为i时还需要的期望，易得（1）：$E(i)=\sum (E(i+k)P(k))+E(0)P(0)+1$（这里$P(k)$为点值和为k的概率，$P(0)$就是对应a，b，c的概率）。

现在我们要求解的是$E(0)$，而且发现每个式子中都会包含$E(0)$。

当遇到这样的情况时我们可以先假设一下，假设（2）：$E(i)=A(i)E(0)+B(i)$，那么（3）：$E(i+k)=A(i+k)E(0)+B(i+k)$。

将（3）式带入（1）式，得（4）：$E(i)=(\sum (A(i+k)P(k))+P(0))*E(0)+\sum (B(i+k)P(k))+1$。

将（2）式和（4）式作比较，可得:

（5）：$A(i)=\sum (A(i+k)P(k))+P(0)$

（6）：$B(i)=\sum (B(i+k)P(k))+1$

而由（2）式我们又可以推出$E(0)=\frac{B(0)}{1-A(0)}$。

所以现在要的就是A(0)和B(0)的值，这个很简单，由（5）、（6）递推得到即可。

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #include<set>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int maxn=+;
 
 int n,k1,k2,k3,a,b,c;
 double p0;
 double A[maxn],B[maxn],p[maxn];
 
 int main()
 {
     //freopen("in.txt","r",stdin);
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         cin>>n>>k1>>k2>>k3>>a>>b>>c;
         memset(p,,sizeof(p));
         p0=1.0/k1/k2/k3;
         for(int i=;i<=k1;i++)
         for(int j=;j<=k2;j++)
         for(int t=;t<=k3;t++)
         {
             if(i==a && j==b && t==c)  continue;
             p[i+j+t]+=p0;
         }
         for(int i=n;i>=;i--)
         {
             A[i]=p0,B[i]=;
             for(int t=;t<=k1+k2+k3;t++)
             {
                 if(i+t>n)  continue;
                 A[i]+=A[i+t]*p[t];
                 B[i]+=B[i+t]*p[t];
             }
         }
         printf("%.16f\n",B[]/(-A[]));
     }
     return ;
 }