二维计算几何基础题目泛做（SYX第一轮）

题目1： POJ 2318 TOYS

题目大意：

给一个有n个挡板的盒子，从左到右空格编号为0...n。有好多玩具，问每个玩具在哪个空格里面。

算法讨论：

直接叉积判断就可以。注意在盒子的边界上面也算在盒子里面。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 const int M =  + ;
 typedef long long ll;

 int n, m, a, b, c, d;
 int vi[M], tim = , num[M];

 struct Line {
   int zx, zy, yx, yy;
 }l[M];

 struct Point {
   int x, y;
   bool operator < (const Point &h) const {
     if(h.x == x) return y < h.y;
     return x < h.x;
   }
 }p[M];

 ll cross(int i, int j) {
   return 1LL * (l[i].zx - p[j].x) * (l[i].yy - p[j].y) - 1LL * (l[i].yx - p[j].x) * (l[i].zy - p[j].y);
 }
 #define ONLINE_JUDGE

 int main() {
 #ifndef ONLINE_JUDGE
   freopen("t.txt", "r", stdin);
   freopen("t.out", "w", stdout);
 #endif

   int u, v;

   while(scanf("%d", &n) && n) {
     scanf("%d%d%d%d%d", &m, &a, &b, &c, &d);
     ++ tim;
     memset(num, , sizeof num);
     for(int i = ; i <= n; ++ i) {
       scanf("%d%d", &u, &v);
       l[i].zx = u; l[i].zy = b;
       l[i].yx = v; l[i].yy = d;
     }
     l[].zx = l[].yx = a;
     l[].zy = b; l[].yy = d;
     l[n + ].zx = l[n + ].yx = c;
     l[n + ].zy = b; l[n + ].yy = d;
     for(int i = ; i <= m; ++ i) {
       scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
     }
     for(int i = ; i < n + ; ++ i) {
       for(int j = ; j <= m; ++ j) {
         if(vi[j] == tim) continue;
         if(p[j].y == b) {
           if(p[j].x >= l[i].zx && p[j].x <= l[i + ].zx) {
             vi[j] = tim;
             num[i] ++;
           }
         }
         else if(p[j].y == d) {
           if(p[j].x >= l[i].yx && p[j].x <= l[i + ].yx) {
             vi[j] = tim;
             num[i] ++;
           }
         }
         else if(i ==  && p[j].x == a) {
           vi[j] = tim;
           num[] ++;
         }
         else if(i == n && p[j].x == c) {
           vi[j] = tim;
           num[n] ++;
         }
         else if(1LL * cross(i, j) * cross(i + , j) < ) {
           vi[j] = tim;
           num[i] ++;
         }
       }
     }
     for(int i = ; i < n + ; ++ i) {
       printf("%d: %d\n", i, num[i]);
     }
     puts("");
   }

 #ifndef ONLINE_JUDGE
   fclose(stdin); fclose(stdout);
 #endif
   return ;
 }

poj 2318

题目2： POJ 2398 Toys

题目大意：

同上。不过不同的是，这里面的挡板输入是没有顺序的，而且问的是有t个玩具的格子有几个。

算法讨论：

上个题小小变动一下就可以了。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 const int M =  + ;
 typedef long long ll;

 int n, m, a, b, c, d;
 int vi[M], tim = , num[M], out[M];

 struct Line {
   int zx, zy, yx, yy;
   bool operator < (const Line &h) const {
     int lx1 = max(zx, yx), mx1 = min(zx, yx);
     int lx2 = max(h.zx, h.yx), mx2 = min(h.zx, h.yx);

     if(mx2 == mx1) {
       return lx1 < lx2;
     }
     return mx1 < mx2;
   }
 }l[M];

 struct Point {
   int x, y;
   bool operator < (const Point &h) const {
     if(h.x == x) return y < h.y;
     return x < h.x;
   }
 }p[M];

 ll cross(int i, int j) {
   return 1LL * (l[i].zx - p[j].x) * (l[i].yy - p[j].y) - 1LL * (l[i].yx - p[j].x) * (l[i].zy - p[j].y);
 }
 #define ONLINE_JUDGE

 int main() {
 #ifndef ONLINE_JUDGE
   freopen("t.txt", "r", stdin);
   freopen("t.out", "w", stdout);
 #endif

   int u, v;

   while(scanf("%d", &n) && n) {
     scanf("%d%d%d%d%d", &m, &a, &b, &c, &d);
     ++ tim;
     memset(num, , sizeof num);
     memset(out, , sizeof out);
     for(int i = ; i <= n; ++ i) {
       scanf("%d%d", &u, &v);
       l[i].zx = u; l[i].zy = b;
       l[i].yx = v; l[i].yy = d;
     }
     sort(l + , l + n + );
     l[].zx = l[].yx = a;
     l[].zy = b; l[].yy = d;
     l[n + ].zx = l[n + ].yx = c;
     l[n + ].zy = b; l[n + ].yy = d;
     for(int i = ; i <= m; ++ i) {
       scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
     }
     for(int i = ; i < n + ; ++ i) {
       for(int j = ; j <= m; ++ j) {
         if(vi[j] == tim) continue;
         if(p[j].y == b) {
           if(p[j].x >= l[i].zx && p[j].x <= l[i + ].zx) {
             vi[j] = tim;
             num[i] ++;
           }
         }
         else if(p[j].y == d) {
           if(p[j].x >= l[i].yx && p[j].x <= l[i + ].yx) {
             vi[j] = tim;
             num[i] ++;
           }
         }
         else if(i ==  && p[j].x == a) {
           vi[j] = tim;
           num[] ++;
         }
         else if(i == n && p[j].x == c) {
           vi[j] = tim;
           num[n] ++;
         }
         else if(1LL * cross(i, j) * cross(i + , j) < ) {
           vi[j] = tim;
           num[i] ++;
         }
       }
     }
     for(int i = ; i < n + ; ++ i) {
       out[num[i]] ++;
     }
     puts("Box");
     for(int i = ; i <= m; ++ i) {
       if(out[i])
         printf("%d: %d\n", i, out[i]);
     }
   }

 #ifndef ONLINE_JUDGE
   fclose(stdin); fclose(stdout);
 #endif
   return ;
 }

poj 2398

题目3： POJ 1654 Area

题目大意：

给一个数字序列，每个数字都代表向特定的方向走。求数字围成的多边形的面积。数据保证合法。

算法讨论：

直接做就行。注意输出的时候，分类讨论下就可以了。而且注意内存，不能把点存下来，要边读入边计算。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 const int N =  + ;

 int len, cnt;
 char str[N];
 int dx[]={, , , , , , , -, -, -};
 int dy[]={, -, , , -, , , -, , };

 double cross(double a, double b, double c, double d) {
   return a * d - b * c;
 }

 int main() {
   int t;

   scanf("%d", &t);

   while(t --) {
     scanf("%s", str + );
     len = strlen(str + );

     double last_x = , last_y = ;
     double area = ;

     for(int i = ; i <= len; ++ i) {
       int q = str[i] - '';

       if(q == ) {
         break;
       }
       area += cross(last_x, last_y, last_x + dx[q], last_y  + dy[q]);
       last_x += dx[q]; last_y += dy[q];
     }

     if((int)area & )
       printf("%.0lf.5\n", floor(fabs(area) / ));
     else
       printf("%.0lf\n", fabs(area) / );
   }
   return ;
 }

POJ 1654

题目4： POJ 1269 Intersecting Lines

题目大意：

给出直线对，判断这对直线的关系：平行，重合或者相交。

算法讨论：

假设直线1的两个点编号为1，2，直线2的两个点编号为3，4，如果 1，2，4的叉积为0， 1，2，3的叉积为0，则说明重合。

如果不重合，用两点式算斜率，为了避免除0错误，把两边除法比较变形为乘法。

如果不重合也不平行，就相交，用分点定理找交点。我的代码中只有规范相交的部分。具体代码请见刘汝佳《算法艺术与信息学竞赛》P357页。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 const double eps = 1e-;

 int n;

 struct Point {
   double a, b;
   Point(double _a = , double _b = ):
     a(_a), b(_b) {}
 }c[];

 double cross(int i, int j, int k) {
   return (c[i].a - c[k].a) * (c[j].b - c[k].b) - (c[j].a - c[k].a) * (c[i].b - c[k].b);
 }

 int dcmp(double s) {
   return s > eps ?  : (s < -eps ? - : );
 }

 void solve() {
   if(fabs(cross(, , )) <= eps && fabs(cross(, , )) <= eps) puts("LINE");
   else if((c[].b - c[].b) * (c[].a - c[].a) == (c[].a - c[].a) * (c[].b - c[].b))
     puts("NONE");
   else {
     double s1 = cross(, , ), s2 = cross(, , );
     double x = (c[].a * s2 - c[].a * s1) / (s2 - s1);
     double y = (c[].b * s2 - c[].b * s1) / (s2 - s1);

     printf("POINT %.2f %.2f\n", x, y);
   }
 }

 int main() {
   double a, b;

   puts("INTERSECTING LINES OUTPUT");
   scanf("%d", &n);
   for(int i = ; i <= n; ++ i) {
     for(int j = ; j <= ; ++ j) {
       scanf("%lf%lf", &a, &b);
       c[j] = Point(a, b);
     }
     solve();
   }
   puts("END OF OUTPUT");
   return ;
 }

POJ 1269

题目5： POJ 1113 Wall

题目大意：

求给出点集的凸包长度+一个半径为r的圆的周长和。

算法讨论：

看了下面这个图，你就什么都明白了。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 #define pi 3.1415926535

 using namespace std;

 const int N =  + ;
 const double eps = 1e-;

 int n, l;
 double ans = ;

 struct Point {
   double x, y;
 }p[N], st[N];

 double dist(Point a, Point b) {
   return sqrt(pow(a.x - b.x, ) + pow(a.y - b.y, ));
 }

 double cross(Point a, Point b, Point c) {
   return (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (b.x - c.x) * (a.y - c.y);
 }

 bool cmp(Point a, Point b) {
   if(cross(a, b, p[]) == )
     return dist(a, p[]) < dist(b, p[]);
   return cross(a, b, p[]) > ;
 }

 void Graham() {
   int top = , k = ;

   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     if(p[i].x < p[k].x || (p[i].x == p[k].x && p[i].y < p[k].y))
       k = i;
   }
   swap(p[k], p[]);
   sort(p + , p + n, cmp);
   st[] = p[]; st[] = p[]; st[] = p[];
   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     while(top && cross(p[i], st[top], st[top - ]) >= ) top --;
     st[++ top] = p[i];
   }
   st[++ top] = p[];
   for(int i = ; i < top; ++ i)
     ans += dist(st[i], st[i + ]);
 }

 int main() {
   scanf("%d%d", &n, &l);
   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
   }
   Graham();
   printf("%.0f", (double) ans + (double)  * pi * l);
   return ;
 }

POJ 1113

题目6： POJ 3304 Segments

题目大意：

给出N个线段，是否有存在一条直线与所有线段都相交。

算法讨论：

这个直线一定经过线段的两个端点。所以我们枚举端点然后判断是否与每条线段相交即可。

判断相交的方法，用跨立实验。如果直线上的两个点与线段的两个点的叉积大于0，说明相交。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 const int N =  + ;
 const double eps = 1e-;

 int n, cnt;

 struct Line {
   double a, b, c, d;
 }l[N];
 struct Point {
   double x, y;
 }p[N<<];
 double cross(int i, int j, int k) {
   double t1 = (p[i].x - l[k].a) * (p[j].y - l[k].b) - (p[j].x - l[k].a) * (p[i].y - l[k].b);
   double t2 = (p[i].x - l[k].c) * (p[j].y - l[k].d) - (p[j].x - l[k].c) * (p[i].y - l[k].d);
   return t1 * t2;
 }
 int main() {
   int t;

   scanf("%d", &t);

   while(t --) {
     cnt = ;
     scanf("%d", &n);
     for(int i = ; i <= n; ++ i) {
       scanf("%lf%lf%lf%lf", &l[i].a, &l[i].b, &l[i].c, &l[i].d);
       p[++ cnt].x = l[i].a; p[cnt].y = l[i].b;
       p[++ cnt].x = l[i].c; p[cnt].y = l[i].d;
     }
     if(n ==  || n == ) {
       puts("Yes!");
       continue;
     }
     for(int i = ; i <= cnt; ++ i) {
       for(int j = i + ; j <= cnt; ++ j) {
         if(fabs(p[i].x - p[j].x) < eps && fabs(p[i].y - p[j].y) < eps) continue;
         for(int k = ; k <= n; ++ k) {
           if(cross(i, j, k) > ) {
             break;
           }
           if(k == n) {
             puts("Yes!");
             goto A;
           }
         }
       }
     }
     puts("No!");
     A:;
   }

   return ;
 }

POJ 3304

题目7： POJ 2187 Beauty Conteset

题目大意：

求平面点集最远点距离平方。

算法讨论：

旋转卡壳直接上吧。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 const int N =  + ;

 int n, top = ;
 double ans;

 struct Point {
   double x, y;
 }p[N], st[N];

 double dist(Point a, Point b) {
   return sqrt(pow(a.x - b.x, ) + pow(a.y - b.y, ));
 }

 double cross(Point a, Point b, Point c) {
   return (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (b.x - c.x) * (a.y - c.y);
 }

 double cal(Point a, Point b) {
   return pow(a.x - b.x, ) + pow(a.y - b.y, );
 }

 bool cmp(Point a, Point b) {
   if(cross(a, b, p[]) == )
     return dist(a, p[]) < dist(b, p[]);
   return cross(a, b, p[]) > ;
 }

 void Graham() {
   int k = ;

   for(int i = ; i < n; ++ i)
     if(p[i].x < p[k].x || (p[i].x == p[k].x && p[i].y < p[k].y))
       k = i;
   swap(p[], p[k]);
   sort(p + , p + n, cmp);
   st[] = p[]; st[] = p[]; st[] = p[];
   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     while(top && cross(p[i], st[top], st[top - ]) >= ) top --;
     st[++ top] = p[i];
   }
   st[++ top] = p[];
 }

 void rotate() {
   int q = ;

   for(int i = ; i < top; ++ i) {
     while(cross(st[i + ], st[q + ], st[i]) > cross(st[i + ], st[q], st[i]))
       q = (q + ) % top;
     ans = max(ans, max(cal(st[i], st[q]), cal(st[i + ], st[q + ])));
   }
 }

 int main() {
   scanf("%d", &n);
   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
   }
   Graham();
   rotate();
   printf("%.0f", ans);
   return ;
 }

POJ 2187

题目8： POJ 1584 A Round Peg in a Ground Hole

题目大意：

给一个圆和一些点。你要做三件事:判断这些点是否组成一个凸多边形。 圆的圆心是否在多边形内。 圆是否在凸多边形内。

算法讨论：

对于第一个件事，我们直接做Graham然后看有多少个点在凸包上。注意排序的时候，如果三个点在一个竖线上的情况要在cmp函数里面判断一下。

对于第二件事，由于这是一个凸多边形，所以我们用回转角法来判断是否在多边形内。注意这里eps不要取的太小，否则会被卡精度。

对于第三件事，最简单的，直接算距离，注意相切的情况也算在多边形内部。

 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 #define pi 3.1415926535

 using namespace std;

 const int N =  + ;
 const double eps = 1e-;

 int n, top = ;
 double cx, cy, cr;

 struct Point {
   double x, y;
 }p[N], st[N];

 double dist(Point a, Point b) {
   return sqrt(pow(a.x - b.x, ) + pow(a.y - b.y, ));
 }

 double cross(Point a, Point b, Point c) {
   return (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x);
 }

 bool cmp(Point a, Point b) {
   if(cross(a, b, p[]) == ) {
     if(a.x == b.x && a.x == p[].x)
       return dist(a, p[]) > dist(b, p[]);
     else
       return dist(a, p[]) < dist(b, p[]);
   }
   return cross(a, b, p[]) > ;
 }

 void Graham() {
   int k = ;

   top = ;
   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     if(p[i].x < p[k].x || (p[i].x == p[k].x && p[i].y < p[k].y))
       k = i;
   }
   swap(p[k], p[]);
   sort(p + , p + n, cmp);
   st[] = p[]; st[] = p[]; st[] = p[];
   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     while(top && cross(p[i], st[top], st[top - ]) > ) top --;
     st[++ top] = p[i];
   }
   st[++ top] = p[];
 }

 double len(int i) {
   return sqrt(pow(st[i].x - cx, ) + pow(st[i].y - cy, ));
 }

 double cal(int i, int j) {
   double t1 = (st[i].x - cx) * (st[j].x - cx) + (st[i].y - cy) * (st[j].y - cy);
   double t2 = len(i) * len(j);

   return t1 / t2;
 }

 int main() {
   while() {
     scanf("%d", &n);
     if(n < ) break;
     scanf("%lf%lf%lf", &cr, &cx, &cy);
     for(int i = ; i < n; ++ i) {
       scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
     }
     Graham();
     if(top != n) {
       puts("HOLE IS ILL-FORMED");
       continue;
     }

     double tmp = ;
     bool flag = false;

     for(int i = ; i < top; ++ i) {
       tmp += (double)acos(cal(i, i + )) *  / pi;
     }
     if(fabs(tmp - 360.00000) > eps) {
       puts("PEG WILL NOT FIT");
       continue;
     }
     for(int i = ; i < top; ++ i) {
       tmp = (st[i].x - cx) * (st[i + ].y - cy) - (st[i + ].x - cx) * (st[i].y - cy);
       tmp = fabs(tmp);
       tmp = tmp / dist(st[i], st[i + ]);
       if(tmp - cr < -eps) {
         flag = true;
         break;
       }
     }
     if(flag) {
       puts("PEG WILL NOT FIT");
     }
     else {
       puts("PEG WILL FIT");
     }
   }
   return ;
 }

POJ 1584

题目9： POJ 2079 Triangle

题目大意：

求点集中面积最大的三角形面积。

算法讨论：

类似旋转卡壳的算法。感觉这是个模板题。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 const int N =  + ;

 int n, top;
 double ans = ;

 struct Point {
   double x, y;
 }p[N], st[N];

 double dist(Point a, Point b) {
   return sqrt(pow(a.x - b.x, ) + pow(a.y - b.y, ));
 }

 double cross(Point a, Point b, Point c) {
   return (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x);
 }

 bool cmp(Point a, Point b) {
   if(cross(a, b, p[]) == )
     return dist(a, p[]) < dist(b, p[]);
   return cross(a, b, p[]) > ;
 }

 void Graham() {
   int k = ; top = ;

   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     if(p[i].x < p[k].x || (p[i].x == p[k].x && p[i].y < p[k].y))
       k = i;
   }
   swap(p[], p[k]);
   sort(p + , p + n, cmp);
   st[] = p[]; st[]= p[]; st[] = p[];
   for(int i = ; i < n; ++ i) {
     while(top && cross(p[i], st[top], st[top - ]) >= )top --;
     st[++ top] = p[i];
   }
   st[++ top] = p[];
 }

 void rotate_triangle() {
   int i, j, k, kk;

   for(i = ; i < top; ++ i) {
     j = (i + ) % top;
     k = (j + ) % top;
     while(k != i && cross(st[i], st[j], st[k]) < cross(st[i], st[j], st[k + ]))
       k = (k + ) % top;
     if(k == i) continue;
     kk = (k + ) % top;
     while(j != kk && k != i) {
       ans = max(ans, fabs(cross(st[i], st[j], st[k])));
       while(k != i && cross(st[i], st[j], st[k]) < cross(st[i], st[j], st[k + ]))
         k = (k + ) % top;
       j = (j + ) % top;
     }
   }
 }

 int main() {
   while(scanf("%d", &n) && n > ) {
     ans = ;
     for(int i = ; i < n; ++ i) {
       scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
     }
     Graham();
     rotate_triangle();
     printf("%.2f\n", (double) ans / );
   }

   return ;
 }

POJ 2079

题目10： POJ 2653 Pick-up sticks

题目大意：

给一坨线段，问哪里线段可以被看到。

算法讨论：

在网上看到了两种解法，一个是O(N^2)的暴力，但是不知道为什么对于10W的数据可以跑过。就是枚举每一个线段i，如果有线段和其相交，

那么这个线段就是不可见。

另一个解法就是对于当前线段，判断其是否与队列中的线段有交点，如果有，把有交点的那个线段出队，把这个入队，否则两个一起入队。

看样子是一样的方法啊。我的代码还是没有不规范判断相交的部分。

 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 const int N =  + ;
 const double eps = 1e-;

 int n;
 bool flag[N];

 struct Point {
   double x, y;
   Point(double _x = , double _y = ):
     x(_x), y(_y) {}
 };
 struct Line {
   Point A, B;
 }l[N];

 double cross(Point a, Point b, Point c) {
   return (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x);
 }

 int dcmp(double x) {
   return x > eps ?  : (x < -eps ? - : );
 }

 int segcross(Point a, Point b, Point c, Point d) {
   int d1, d2, d3, d4;

   d1 = dcmp(cross(a, b, c));
   d2 = dcmp(cross(a, b, d));
   d3 = dcmp(cross(c, d, a));
   d4 = dcmp(cross(c, d, b));

   if((d1 ^ d2) == - && (d3 ^ d4) == -)
     return ;
   return ;
 }

 int main() {
   double a, b, c, d;

   while(scanf("%d", &n) && n) {
     for(int i = ; i <= n; ++ i ) {
       scanf("%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &d);
       l[i].A = (Point){a, b};
       l[i].B = (Point){c, d};
       flag[i] = true;
     }
     for(int i = ; i <= n; ++ i) {
       for(int j = i + ; j <= n; ++ j) {
         if(segcross(l[i].A, l[i].B, l[j].A, l[j].B)) {
           flag[i] = false;
           break;
         }
       }
     }
     bool tmp = false;

     printf("Top sticks: ");
     for(int i = ; i <= n; ++ i) {
       if(flag[i]) {
         if(!tmp) {
           printf("%d", i);
           tmp = true;
         }
         else {
           printf(", %d", i);
         }
       }
     }
     puts(".");
   }

   return ;
 }

POJ 2653