题目地址:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4633

典型的Polya定理:

思路:根据Burnside引理,等价类个数等于所有的置换群中的不动点的个数的平均值,根据Polya定理,不动点的个数等于Km(f),m(f)为置换f的循环节数,因此一次枚举魔方的24中置换,人肉数循环节数即可,注意细节,别数错了。

1、静止不动,(顶点8个循环,边12个循环,面54个循环)

2、通过两个对立的顶点,分别旋转120,240,有4组顶点,(点4个循环,边4个循环,面18个循环)x2(120和240度两种)x4(4组对角顶点)

3、通过两个对立面的中心,分别旋转90,180,270度。有3组面

在每次旋转90度和270度的时候(顶点2个循环节,边3个循环节,面15个循环节)x2(90和270两种角度)x3(三组对立面)

在每次旋转180度的时候(顶点4个循环节,边6个循环节,面28个循环节)x1(只有180度)x3(三组对里面)

4、通过两条对立的棱的中心,分别旋转180度,有6组棱(顶点4个循环节,边7个循环节,面27个循环节)×1(180度)×6(6组对立棱)

AC代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <list>
#include <deque>
#include <queue>
#include <iterator>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cctype>
using namespace std; typedef long long LL;
const int N=1;
const int mod=10007;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double PI=acos(-1.0); int powmod(int a,int b)
{
int ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
a=(a*a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
} int main()
{
int i,j,t,k,ca=0;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&k);
int xh=0;
xh=(xh+powmod(k,74))%mod;
xh=(xh+6*powmod(k,20))%mod;
xh=(xh+3*powmod(k,38))%mod;
xh=(xh+6*powmod(k,38))%mod;
xh=(xh+8*powmod(k,26))%mod;
xh=(xh*powmod(24,mod-2))%mod;
printf("Case %d: %d\n",++ca,xh);
}
return 0;
}
/*
本题模型共有4大类置换,共24种:
1. 不做任何旋转 K ^ (54 + 12 + 8)
2. 绕相对面中心的轴转
1) 90度 K ^ (15 + 3 + 2) * 3
1) 180度 K ^ (28 + 6 + 4) * 3
1) 270度 K ^ (15 + 3 + 2) * 3
3. 绕相对棱中心的轴转
1) 180度 K ^ (27 + 7 + 4) * 6
4. 绕相对顶点的轴转
1) 120度 K ^ (18 + 4 + 4) * 4
1) 240度 K ^ (18 + 4 + 4) * 4
*/

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