【WC2018】州区划分（FWT，动态规划）

【WC2018】州区划分（FWT，动态规划）

题面

UOJ

洛谷

题解

首先有一个暴力做法（就有\(50\)分了）

先\(O(2^nn^2)\)预处理出每个子集是否合法，然后设\(f[S]\)表示当前的答案，每次枚举一个子集进行转移，得到方程：\(\displaystyle f[S]=(\frac{1}{W_s})^p\sum_{T\subset S}f[T]*(W_{S-T})^p*check[S-T]\)。

其中\(W\)表示权值和，\(check\)表示是否合法。

这样子的复杂度是\(O(3^n)\)，然后似乎可以拿\(50\)分了。

后面那个东西很像一个卷积，然而直接\(or\)卷积的话，会算出很多我们不想要的东西。

听说这个玩意叫做子集卷积。

要做的就是\(\sum f[T]*g[W]*[T\cup W=S,T\cap W=\phi]\)

可以用二进制下\(1\)的个数来表示这个限制\(\sum f[T]*g[W]*[T\cup W=S,cnt(T)+cnt(W)=cnt(S)]\)。

其中\(cnt(S)\)表示\(S\)中\(1\)的个数。

然后听说这个玩意就是一个套路了。。。

把集合的\(1\)的个数强制作为一维状态加上去。也就是\(f[cnt(S)][S]\)这样子。

令\(g[cnt(S)][S]=(W_S)^p*check[S]\)。

这样子的话只需要枚举两者的\(1\)的个数就可以去掉位的限制，然后就只剩下两者的交是\(S\)的限制，这个限制可以直接表示为或卷积（异或似乎也行？？？）。

那么直接\(FWT\)按层处理即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define MAX 25
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int n,m,p,S,G[MAX],dg[MAX],lg[1<<21];
bool chk[1<<21];
int cc[1<<21];
int f[22][1<<21],g[22][1<<21],tmp[1<<21];
int w[MAX],W[1<<21],Wk[1<<21],invW[1<<21];
void FWT(int *a,int opt)
{
	for(int i=1;i<S;i<<=1)
		for(int p=i<<1,j=0;j<S;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
				if(opt==1)add(a[i+j+k],a[j+k]);
				else add(a[i+j+k],MOD-a[j+k]);
}
int fa[MAX];
int getf(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=getf(fa[x]);}
int main()
{
	n=read();m=read();p=read();S=1<<n;
	for(int i=2;i<S;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read()-1,v=read()-1;
		G[u]|=1<<v;G[v]|=1<<u;
	}
	for(int i=0;i<n;++i)w[i]=read();
	for(int i=1;i<S;++i)cc[i]=cc[i>>1]+(i&1);
	for(int i=0;i<S;++i)
	{
		for(int j=0;j<n;++j)fa[j]=j;
		for(int j=0;j<n;++j)if(i&(1<<j))dg[j]=cc[G[j]&i];
		for(int j=0;j<n;++j)
			if(i&(1<<j))
			{
				int x=i&G[j];
				while(x)fa[getf(j)]=getf(lg[x&(-x)]),x-=x&(-x);
			}
		chk[i]=false;int nw=0;
		for(int j=0;j<n;++j)if(i&(1<<j))W[i]+=w[j],nw=j;
		for(int j=0;j<n&&!chk[i];++j)if((dg[j]&1)||((i&(1<<j))&&dg[j]==0))chk[i]=true;
		for(int j=0;j<n;++j)dg[j]=0;
		for(int j=0;j<n&&!chk[i];++j)if(i&(1<<j))if(getf(j)!=getf(nw))chk[i]=true;
		if(cc[i]==1)chk[i]=false;
		Wk[i]=fpow(W[i],p);invW[i]=fpow(Wk[i],MOD-2);
		if(chk[i])g[cc[i]][i]=Wk[i];
	}
	f[0][0]=1;FWT(f[0],1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		FWT(g[i],1);
		for(int j=0;j<i;++j)
			for(int k=0;k<S;++k)
				add(tmp[k],1ll*f[j][k]*g[i-j][k]%MOD);
		FWT(tmp,-1);
		for(int j=0;j<S;++j)f[i][j]=1ll*tmp[j]*invW[j]%MOD,tmp[j]=0;
		if(i!=n)FWT(f[i],1);
	}
/*
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<S;++i)
	{
		for(int t=(i-1)&i;;t=(t-1)&i)
		{
			if(chk[i^t])add(f[i],1ll*f[t]*Wk[i^t]%MOD);
			if(!t)break;
		}
		f[i]=1ll*f[i]*invW[i]%MOD;
	}
*/
	printf("%d\n",f[n][S-1]);
	return 0;
}