[CQOI2017]老C的键盘

[CQOI2017]老C的键盘

题目描述

额，网上题解好像都是用的一大堆组合数，然而我懒得推公式。

设\(f[i][j]\)表示以\(i\)为根，且\(i\)的权值为\(j\)的方案数。

转移：

\[f[i][j]=\sum f[sn_1][k]*f[sn_2][q]
\]

需要判断一下\(k,q\)与\(j\)的关系满不满足题意就行了。

但是这样的答案显然不对，因为有些权值可能多次出现。

换句话说，有些权值可能没有出现。所以我们就用那个经典的容斥，枚举颜色数上界。

设\(g[s]\)表示颜色数最多为\(s\)的方案数，则\(\displaystyle ans=\sum_{s=1}^n (-1)^{n-s}C_n^sg[s]\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 105
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=1e9+7;
int n;
char s[N];
int f[N][N];
int c[N][N];
int Mod(int a) {return a<0?a+mod:(a<mod?a:a-mod);}
int g[N][2];
int ans;
void update(int v,int sn,int flag,int sum) {
	if(s[sn]=='<') {
		for(int j=1;j<=sum;j++) g[j][flag]=Mod(g[j-1][flag]+f[sn][j-1]);
	} else {
		for(int j=sum;j>=1;j--) g[j][flag]=Mod(g[j+1][flag]+f[sn][j+1]);
	}
}
int work(int sum) {
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=n;i>=1;i--) {
		memset(g,0,sizeof(g));
		if(i*2<=n) update(i,i<<1,0,sum);
		else for(int j=1;j<=sum;j++) g[j][0]=1;
		if(i*2+1<=n) update(i,i<<1|1,1,sum);
		else for(int j=1;j<=sum;j++) g[j][1]=1;
		for(int j=1;j<=sum;j++) f[i][j]=1ll*g[j][0]*g[j][1]%mod;
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=sum;i++) ans=Mod(ans+f[1][i]);
	return ans;
}
int main() {
	n=Get();
	for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			c[i][j]=(!j||i==j)?1:Mod(c[i-1][j-1]+c[i-1][j]);
	scanf("%s",s+2);
	int flag=1;
	for(int i=n;i>=1;i--,flag*=-1) {
		ans=(ans+flag*1ll*c[n][i]*work(i)%mod+mod)%mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}