秦九韶算法 & 三分法
前言
今天考试出了一个题
郭郭模拟退火骗了75分
于是再次把咕咕了好久的模退提上日程
如果进展顺利
明后天应该会开爬山算法和模退的博客笔记
今天先把今天考试的正解学习一下——三分法
引入
老规矩上板子题
LuoguP3382
题目描述
给出一个 \(N\) 次函数,保证在范围 \([l,r]\) 内存在一点 \(x\),使得 \([l,x]\) 上单调增,\([x,r]\) 上单调减。试求出 \(x\) 的值。
输入格式
第一行一次包含一个正整数 \(N\) 和两个实数 \(l,r\),含义如题目描述所示。
第二行包含 \(N+1\) 个实数,从高到低依次表示该 \(N\) 次函数各项的系数。
输出格式
输出为一行,包含一个实数,即为 \(x\) 的值。四舍五入保留 \(5\) 位小数。
Input
3 -0.9981 0.5
1 -3 -3 1
Output
-0.41421
秦九韶算法
背景(废话)
秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。
其大大简化了计算过程,即使在现代,利用计算机解决多项式的求值问题时,秦九韶算法依然是最优的算法。
在西方被称作霍纳算法,是以英国数学家霍纳命名的。
计算方法
求多项式的值:
\]
一眼暴力直接求值
那还要秦九韶干啥
本质就是提公因式
\]
\]
顺序进行到最后
\]
来看一个五次式
\]
暴力求需要10个乘法
利用秦九韶算法显然可以只成4次
这下就大大改善了效率
显然的,次数越高
算法效率优化越明显
接下来进入正题:三分法
三分法
简介
三分法一般用来求某一个单峰函数的最值。
没了。。。
和二分的区别就是
二分要求区间单调
三分要求只有一个“单峰”,即最值
实现
给定上下界,每次将上下界这个区间平均分成三份,取两个三等分点比较,并缩小范围。
三分法就是单峰函数求最值
当前我们位于\([l,r]\)
然后我们我们有两个三等分点\(mid,mmid(mid<mmid)\)
也不一定非要两个三等分点,只是举个例子
假设我们求最大值
我们比较\(f(mid)\)以及\(f(mmid)\)
1.\(f(mid)>f(mmid)\)
那么可以确定的是\(mmid\)一定位于最值右边
2.\(f(mid)<f(mmid)\)
那么可以确定的是\(mid\)一定位于最值左边
Code
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
inline int read(){
int x = 0, w = 1;
char ch;
for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;
for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
return x * w;
}
const double eps = 1e-8;
double a[20];
int n;
inline double f(double x){
double ans = 0.0;
for(int i = n; i >= 0; i--)
ans = ans * x + a[i];
return ans;
}
double l, r;
signed main(){
n = read();
cin >> l >> r;
for(int i = n; i >= 0; i--)
cin >> a[i];
while(fabs(l - r) >= eps){
double midl = l + (r - l) / 3;
double midr = r - (r - l) / 3;
if(f(midl) > f(midr))
r = midr;
else l = midl;
}
printf("%.5lf\n", l);
return 0;
}
小结
这么来看三分还是很简单的(doge
这个板子求导+二分好像也能做
但是咱们今天学习板子对吧
稍等做完T4会把题目放到下面
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