前言

今天考试出了一个题

郭郭模拟退火骗了75分

于是再次把咕咕了好久的模退提上日程

如果进展顺利

明后天应该会开爬山算法和模退的博客笔记

今天先把今天考试的正解学习一下——三分法

引入

老规矩上板子题

LuoguP3382

题目描述

给出一个 \(N\) 次函数,保证在范围 \([l,r]\) 内存在一点 \(x\),使得 \([l,x]\) 上单调增,\([x,r]\) 上单调减。试求出 \(x\) 的值。

输入格式

第一行一次包含一个正整数 \(N\) 和两个实数 \(l,r\),含义如题目描述所示。

第二行包含 \(N+1\) 个实数,从高到低依次表示该 \(N\) 次函数各项的系数。

输出格式

输出为一行,包含一个实数,即为 \(x\) 的值。四舍五入保留 \(5\) 位小数。

Input

  1. 3 -0.9981 0.5
  2. 1 -3 -3 1

Output

  1. -0.41421

秦九韶算法

背景(废话)

秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。

其大大简化了计算过程,即使在现代,利用计算机解决多项式的求值问题时,秦九韶算法依然是最优的算法。

在西方被称作霍纳算法,是以英国数学家霍纳命名的。

计算方法

求多项式的值:

\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n
\]

一眼暴力直接求值

那还要秦九韶干啥

本质就是提公因式

\[f(x)=a_0+x(a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n -1})
\]

\[f(x)=a_0+x(a_1+x(a_2+a_3x+\cdots+a_nx^{n -2})
\]

顺序进行到最后

\[f(x)=(\cdots(a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots+a_1)x+a_0
\]

来看一个五次式

\[f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\quad (x=5)
\]

暴力求需要10个乘法

利用秦九韶算法显然可以只成4次

这下就大大改善了效率

显然的,次数越高

算法效率优化越明显


接下来进入正题:三分法

三分法

简介

三分法一般用来求某一个单峰函数的最值。

没了。。。

和二分的区别就是

二分要求区间单调

三分要求只有一个“单峰”,即最值

实现

给定上下界,每次将上下界这个区间平均分成三份,取两个三等分点比较,并缩小范围。

三分法就是单峰函数求最值

当前我们位于\([l,r]\)

然后我们我们有两个三等分点\(mid,mmid(mid<mmid)\)

也不一定非要两个三等分点,只是举个例子

假设我们求最大值

我们比较\(f(mid)\)以及\(f(mmid)\)

1.\(f(mid)>f(mmid)\)

那么可以确定的是\(mmid\)一定位于最值右边

2.\(f(mid)<f(mmid)\)

那么可以确定的是\(mid\)一定位于最值左边

Code

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstring>
  3. #include <cstdio>
  4. #include <algorithm>
  5. #include <queue>
  6. #include <cmath>
  7. using namespace std;
  8. inline int read(){
  9. int x = 0, w = 1;
  10. char ch;
  11. for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;
  12. for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
  13. return x * w;
  14. }
  15. const double eps = 1e-8;
  16. double a[20];
  17. int n;
  18. inline double f(double x){
  19. double ans = 0.0;
  20. for(int i = n; i >= 0; i--)
  21. ans = ans * x + a[i];
  22. return ans;
  23. }
  24. double l, r;
  25. signed main(){
  26. n = read();
  27. cin >> l >> r;
  28. for(int i = n; i >= 0; i--)
  29. cin >> a[i];
  30. while(fabs(l - r) >= eps){
  31. double midl = l + (r - l) / 3;
  32. double midr = r - (r - l) / 3;
  33. if(f(midl) > f(midr))
  34. r = midr;
  35. else l = midl;
  36. }
  37. printf("%.5lf\n", l);
  38. return 0;
  39. }

小结

这么来看三分还是很简单的(doge

这个板子求导+二分好像也能做

但是咱们今天学习板子对吧

稍等做完T4会把题目放到下面

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