【BZOJ4712】洪水 树链剖分优化DP+线段树

【BZOJ4712】洪水

Description

小A走到一个山脚下，准备给自己造一个小屋。这时候，小A的朋友（op，又叫管理员）打开了创造模式，然后飞到山顶放了格水。于是小A面前出现了一个瀑布。作为平民的小A只好老实巴交地爬山堵水。那么问题来了：我们把这个瀑布看成是一个n个节点的树，每个节点有权值（爬上去的代价）。小A要选择一些节点，以其权值和作为代价将这些点删除（堵上），使得根节点与所有叶子结点不连通。问最小代价。不过到这还没结束。小A的朋友觉得这样子太便宜小A了，于是他还会不断地修改地形，使得某个节点的权值发生变化。不过到这还没结束。小A觉得朋友做得太绝了，于是放弃了分离所有叶子节点的方案。取而代之的是，每次他只要在某个子树中（和子树之外的点完全无关）。于是他找到你。

Input

输入文件第一行包含一个数n，表示树的大小。

接下来一行包含n个数，表示第i个点的权值。

接下来n-1行每行包含两个数fr，to。表示书中有一条边（fr，to）。

接下来一行一个整数，表示操作的个数。

接下来m行每行表示一个操作，若该行第一个数为Q，则表示询问操作，后面跟一个参数x，表示对应子树的根；若为C，则表示修改操作，后面接两个参数x，to，表示将点x的权值加上to。

n<=200000，保证任意to都为非负数

Output

对于每次询问操作，输出对应的答案，答案之间用换行隔开。

Sample Input

4
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1

Sample Output

3
1
4

题解：设每个点的DP值是f[x]，每个点儿子的f之和为g[x]，f[x]=min(g[x],v[x])。发现，由于v[x]只能变大，所以每次操作可能导致一些点从选g[x]变成选v[x]，但只能导致一个点从选v[x]变成选g[x]，所以对于从选v变成选g或从选g变成选v的，我们都可以暴力搞定（均摊的思想）。具体做法：

先改v[x]，如果v[x]的增长导致了f[x]的改变，则令它父亲的g值+=改变值，然后递归它的父亲：

先让当前的g值+=该变量，如果f不变，则结束；如果原来选g，改完变成选v，那么记录该变量，继续修改它的父亲；如果原来选g，改完还是选g，那么一定是：当前点的连续几辈祖先都是原来选g改完也选g，那么我们二分找到深度最小的祖先，然后中间的g值都能用线段树直接修改。然后再继续修改这个祖先的父亲即可。

那么二分的过程具体如何实现呢？需要用线段树维护v[x]-g[x]的最小值，然后再树剖的时候，先判断当前链的链顶是否符合要求，如果不是，则在链内二分，否则在直接跳到下一条链上。

这样就保证了时间复杂度是$O(nlog_n^2)$的。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
using namespace std;
const int maxn=200010;
typedef long long ll;
int n,m,cnt;
int to[maxn<<1],next[maxn<<1],head[maxn],p[maxn],Q[maxn],dep[maxn],fa[maxn],top[maxn],siz[maxn],son[maxn];
char str[5];
ll sv[maxn<<2],ts[maxn<<2],sc[maxn<<2],v[maxn],g[maxn];
inline void add(int a,int b)
{
	to[cnt]=b,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
void dfs1(int x)
{
	siz[x]=1;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i])	if(to[i]!=fa[x])
	{
		fa[to[i]]=x,dep[to[i]]=dep[x]+1,dfs1(to[i]),siz[x]+=siz[to[i]];
		if(siz[to[i]]>siz[son[x]])	son[x]=to[i];
		g[x]+=min(g[to[i]],v[to[i]]);
	}
	if(siz[x]==1)	g[x]=1<<30;
}
void dfs2(int x,int tp)
{
	p[x]=++p[0],Q[p[0]]=x,top[x]=tp;
	if(son[x])	dfs2(son[x],tp);
	for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i])	if(to[i]!=fa[x]&&to[i]!=son[x])	dfs2(to[i],to[i]);
}
inline void pushdown(int x)
{
	if(ts[x])	sc[lson]-=ts[x],sc[rson]-=ts[x],ts[lson]+=ts[x],ts[rson]+=ts[x],ts[x]=0;
}
void build(int l,int r,int x)
{
	if(l==r)
	{
		sv[x]=v[Q[l]],sc[x]=v[Q[l]]-g[Q[l]];
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,lson),build(mid+1,r,rson);
	sv[x]=min(sv[lson],sv[rson]),sc[x]=min(sc[lson],sc[rson]);
}
ll getg(int l,int r,int x,int a)
{
	if(l==r)	return sv[x]-sc[x];
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(a<=mid)	return getg(l,mid,lson,a);
	return getg(mid+1,r,rson,a);
}
ll getv(int l,int r,int x,int a,int b)
{
	if(l==r)	return sv[x];
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(b<=mid)	return getv(l,mid,lson,a,b);
	if(a>mid)	return getv(mid+1,r,rson,a,b);
	return min(getv(l,mid,lson,a,b),getv(mid+1,r,rson,a,b));
}
ll getc(int l,int r,int x,int a,int b)
{
	if(a<=l&&r<=b)	return sc[x];
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(b<=mid)	return getc(l,mid,lson,a,b);
	if(a>mid)	return getc(mid+1,r,rson,a,b);
	return min(getc(l,mid,lson,a,b),getc(mid+1,r,rson,a,b));
}
void upg(int l,int r,int x,int a,int b,ll c)
{
	if(a<=l&&r<=b)
	{
		if(c==-1)	sc[x]+=v[Q[l]]-sv[x],sv[x]=v[Q[l]];
		else	sc[x]-=c,ts[x]+=c;
		return ;
	}
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(a<=mid)	upg(l,mid,lson,a,b,c);
	if(b>mid)	upg(mid+1,r,rson,a,b,c);
	sv[x]=min(sv[lson],sv[rson]),sc[x]=min(sc[lson],sc[rson]);
}
inline void change(int x,ll d)
{
	while(x)
	{
		ll gx=getg(1,n,1,p[x]),fx=min(gx,v[x]);
		upg(1,n,1,p[x],p[x],d);
		if(gx>=v[x])	return ;
		if(gx+d>v[x])	d=v[x]-fx,x=fa[x];
		else
		{
			if(top[x]==x)	x=fa[x];
			else	if(getc(1,n,1,p[top[x]],p[x]-1)>=d)
			{
				upg(1,n,1,p[top[x]],p[x]-1,d);
				x=fa[top[x]];
			}
			else
			{
				int l=p[top[x]],r=p[x],mid;
				while(l<r)
				{
					mid=(l+r)>>1;
					if(getc(1,n,1,mid,p[x]-1)>=d)	r=mid;
					else	l=mid+1;
				}
				if(r<p[x])	upg(1,n,1,r,p[x]-1,d);
				x=Q[r-1];
			}
		}
	}
}
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')	f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	n=rd();
	int i,a,b;
	for(i=1;i<=n;i++)	v[i]=rd();
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(i=1;i<n;i++)	a=rd(),b=rd(),add(a,b),add(b,a);
	dep[1]=1,dfs1(1),dfs2(1,1);
	m=rd();
	build(1,n,1);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s",str);
		if(str[0]=='C')
		{
			a=rd(),b=rd();
			ll gx=getg(1,n,1,p[a]),fx=min(gx,v[a]);
			v[a]+=b,upg(1,n,1,p[a],p[a],-1);
			if(min(v[a],gx)>fx)	change(fa[a],min(v[a],gx)-fx);
		}
		else	a=rd(),printf("%lld\n",min(v[a],getg(1,n,1,p[a])));
	}
	return 0;
}//4 4 3 2 1 1 2 1 3 4 2 4 Q 1 Q 2 C 4 10 Q 1