前言

$Master$定理,又称主定理,用于程序的时间复杂度计算,核心思想是分治,近几年$Noip$常考时间复杂度的题目,都需要主定理进行运算。

前置

我们常见的程序时间复杂度有:

$O(n)/O(n2)/O(nlog_2n)/O(2n)$等等...

我们叫它程序的渐进时间复杂度,例如一段程序执行这样的循环:

for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
sum+=a[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
pai*=a[i][j];

显然,这段代码一共运行了$n3+2n2$次,我们将它的渐进时间复杂度写作$O(n3)$,即保留最高项但忽略其系数,约定:一般我们将$log_2n$写作$logn$,将$logn*logn$写作$log2n$

算时间复杂度有什么用呢?一般来说,在比赛时我们将知道程序的时间限制,一般为$1s$,我们可以通过粗略计算程序时间复杂度来判断程序是否能在$1s$通过,否则会$TLE$。

时间复杂度 $1s$内稳过的范围 极限范围(危险)
$O(1)$ $\infty$ $\infty$
$O(wys)$ $\infty$ $\infty$
$O(logn)$ $\infty$ $\infty$
$O(n)$ $5\times10^7$ $10^8$
$O(nlogn)$ $5\times 10^5$ $10^6$
$O(n^2)$ $5000$ $10000$
$O(n^3)$ 300 500
$O(2^n)$ 25 27
$O(n!)$ 11 11(稳过)
$O(n^n)$ 8 8(稳过)

PS:由于程序存在常数因子,极限范围不一定能过,除非你是欧洲人。

大概来说,如果你算出的渐进时间复杂度量化后在千万级别[$n\times10^7$],基本上是很稳的

对于非递归程序时间复杂度的运算方法,比较简单粗暴的方法是数循环。但这种方法并不一定始终正确,如$NOIP2017PJT4$的二分答案是$O(logn)$复杂度的,$dp$的转移是执行$n$次的,而对于单调队列,每个元素至多进队一次,出队一次,最多与$2n$次操作,$dp$的总操作次数应该是将它们加在一起,共$3n$次操作,时间复杂度为$O(n)$,而不是$O(n^2)$,总复杂度为$O(nlogn)$,与之类似的还有$kmp$算法的时间复杂度。(PS:$kmp$算法的时间复杂度至今仍存在争议,我们一般将其视作$O(n)$的

正文

介绍$master$定理前,首先要知道一个符号

  1. $T(n)$表示时间复杂度,可以这样表示:$T(n)=$一个单项式,例如:

$T(n)=2T(n/2)+f(n)$

  1. $\Theta$ 读音:$theta$,表示等于
  2. $O$ 读音:$big\ oh$,表示小于等于
  3. $o$ 读音:$small\ oh$,表示小于
  4. $\Omega$ 读音:$big\ omega$,表示大于等于
  5. $\omega$ 读音:$small\ omega$,表示大于

主定理是怎么表示的呢?

  • 我们目前有一个规模为$n$的问题
  • 通过分治,我们将问题分成$a$个规模为$\frac{n}{b}$,每次递归将带来$f(n)$的额外计算
  • 于是得到关系式:

$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$

此外,我们还要定义一个$C_{crit}$,它是这样计算的:

$C_{crit}=log_ba$

那么有:

$1$.

  • 当$f(n)=O(nc)$,且$c<c_{crit}$时有:$T(n)=\Theta(n{c_{crit}})$
  • 例子:
  • $T(n)=8T(\frac{n}{2})+1000n^2$
  • 此时$a=8,b=2,f(n)=1000n^2$
  • 当$c=2$时,$f(n)=O(n^2)$
  • 又因为$C_{crit}=log_ba=3>c$
  • 所以$T(n)=\Theta(n{log_ba})=\Theta(n3)$

$2$.

  • 当$f(n)=O(n^c)$,且$c>c_{crit}$时有:$T(n)=\Theta(f(n))$
  • 例子:
  • $T(n)=2T(\frac{n}{2})+n^2$
  • 此时$a=2,b=2,f(n)=n^2$
  • 当$c=2$时,$f(n)=O(n^2)$
  • 又因为$c_{crit}=log_ba=1<c$
  • 所以$T(n)=\Theta(f(n))=\Theta(n^2)$

$3$.

  • 若存在一个非负整数$k$,使得$f(n)=\Theta(n{c_{crit}}logkn)$
  • 那么$T(n)=\Theta(n{c_{crit}}log{k+1}n)$
  • 例子:
  • $T(n)=2T(\frac{n}{2})+10n$
  • 此时$a=2,b=2,f(n)=10n$;$c_{crit}=log_ba=1$
  • 当$k=0$时$f(n)=\Theta(n1log0n)=\Theta(n)$
  • 所以$T(n)=\Theta(n1log1n)=\Theta(nlogn)$

练手题

  • 首先,我们知道$a=2,b=4,f(n)=\sqrt{n}=n^{\frac{1}{2}}$;$c=\frac{1}{2},c_{crit}=log_42=\frac{1}{2}$
  • 当$k=0$时,满足条件3,所以,$T(n)=O(\sqrt nlogn)$,选$C$

$T(n)$

$=T(n-1)+n-1+n$

$=T(n-2)+n-2+n-1+n$

$=...$

$=T(0)+0+1+2+...+n-2+n-1+n$

$=1+\frac{n\times (n+1)}{2}$

$=O(n^2)$

选择$D$


  • 假设$g(i)$,为计算$F(i)$的次数,因为$F(i)=F(i-1)+F(i-2)$所以$g(i)=g(i-1)+g(i-2)$
  • 因为$F(1)=g(1)=1,F(2)=g(2)=1$,所以$g(n)=F(n)$
  • 则:

$T(n)=g(n)=F(n)=O(F(n))$

选择$D$

完结

这和大家能够平安过初赛!

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