【lydsy1407】拓展欧几里得求解不定方程+同余方程
题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1407
题意:
有n个野人,野人各自住在第c[i]个山洞中(山洞成环状),每年向前走p[i]个山洞,到这个山洞住下来。
每个野人的寿命为l[i],问至少需要多少个山洞,才能让野人在有生之年永远不住在同一个山洞。
题解:
原本不会拓展欧几里得和同余方程,在这里尽量详细地写一下由这题学到的东西。
我原本是从网上看各类题解然后打的,因为不理解和某些题解上的错误,导致调了很久。
下面写我的题解,如有错误,敬请指出。
设山洞的数量为m。
首先,对于n=2时,若相遇,则得同余方程 c[i]+x*p[i] = c[j]+x*p[j] (mod m)
移项,得:(p[i]-p[j])*x=c[j]-c[i] (mod m)
即:(p[i]-p[j])*x + m*y = c[j]-c[i]
则由于p[i]-p[j]、m、c[j]-c[i]已知,该方程相当于 a*x+b*y=c,可用拓展欧几里得求解。
若该方程无解,或x小于l[i]且x小于l[j](注意是并且的关系,因为一个死了一个活着也是不能相遇的),则不会相遇。
所以,由于n<=15,可以从max(c[i])开始枚举m(因为开始时野人都不在同一个山洞,max(c[i])一定大于等于n),两两匹配,若都不能相遇,则当前的m值为最小整数解。
相关: 用拓展欧几里德算法求不定方程 a*x + b*y = c:
推荐一篇很好的博文:http://www.cnblogs.com/Rinyo/archive/2012/11/25/2787419.html
如果c不是gcd(a,b)的倍数,则该方程无解。
证明:
设g=gcd(a,b),则a=a'g,b=b'g
ax+by=c可化为g(a'x+b'y)=c
由于g、(a'x+b'y)、c都是整数,所以c必然是g的倍数。
拓展欧几里得:
int exgcd(int a,int b)
{
if (b == ) { x=,y=; return a; }
int t = exgcd (b,a%b,x,y);
int x0 = x , y0 = y;
x = y0; y = x0-(a/b)*y0;
return t;
}
证明:
ax + by = gcd(a,b)
bx'+(a%b)y'=gcd(b,a%b)
因为gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
所以ax+by = bx'+(a%b)y'
代入a%b = a - ⌊a/b⌋*b (⌊⌋是向下取整符号)
ax + by = bx' + (a - ⌊a/b⌋*b)y'
ax + by = ay' + b(x'-⌊a/b⌋y')
所以: x = y' y = x'-⌊a/b⌋*y'
回溯即可得出答案。
此处求出的x和y是一组可行解,可以利用通式
x = x' + k*b
y = y' - k*a
求出最小整数解。
注意:ax + by = c 求的是c是gcd(a,b)的倍数时的解。
方法一:
方程两边同时除以g
a'=a/g b'=b/g c'=c/g
得a'x+b'y=c'
用拓展欧几里德算法求解a'x'+b'y'=1
则 x = x'*c' y = y'*c'
这时,在用通式求最小整数解时加减的应是b'
方法二:
我们可以直接求出ax’ + by’ =gcd(a,b)
则 x = x'*c/g y = y' * c/g
这时应注意,在求通式求最小整数解加减的仍应是b/g。(注意!)
代码如下:
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std; const int N=,M=;
int n;
int cc[N],p[N],l[N]; int maxx(int x,int y) {return x>y ? x:y;}
int minn(int x,int y) {return x<y ? x:y;}
int myabs(int x) {return x> ? x:-x;} int gcd(int a,int b)
{
if(b==) return a;
return gcd(b,a%b);
} void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==) {x=,y=;return ;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int x0=x,y0=y;
x=y0;y=x0-(a/b)*y0;
return ;
} bool check(int m)
{
for(int i=;i<=n-;i++)
for(int j=i+;j<=n;j++)
{
int a=p[i]-p[j];
int b=m;
int c=cc[j]-cc[i]; int g=gcd(a,b);
if(c%g) continue;
a/=g;b/=g;c/=g;//b在此处可能变为负
int x,y;
exgcd(a,b,x,y);
x=x*c;y=y*c;
while(x>) x-=myabs(b);
while(x<=) x+=myabs(b);
if(x<=minn(l[i],l[j])) return ;//
}
return ;
} int main()
{
scanf("%d",&n);
int mx=n;
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&cc[i],&p[i],&l[i]);
mx=maxx(mx,cc[i]);
}
for(int i=mx;i<=M;i++)
{
if(check(i)) {printf("%d\n",i);break;}
}
return ;
}
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