Luogu 1063 能量项链（动态规划）

Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为mrn（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=1023=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=1023+1035+10510=710。

Input

输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

Output

输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

Sample Input

4

2 3 5 10

Sample Output

710

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1063

Source

动态规划

解决思路

这是一道动态规划问题。

首先我们要把环变成链，这个比较好解决，把项链复制一次放到后面就可以了。

我们设F[l][r]表示合并从l到r的珠子可以得到的最大能量。根据题目中的分析，可以得到转移方程：

\[F[l][r]=max(F[l][r],F[l][k-1]+F[k][r]+A[l]*A[k]*A[r+1])
\]

解释一下，k就是我们从l+1到r循环，这表示合并[l,k)和[k,r]的珠子，而A就是题目中输入的数据。

最后注意一下循环的顺序，以保证推的时候前面的东西已经计算出来了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxN=350;
const int inf=2147483647;
int n;
int A[maxN];
int F[maxN][maxN];
int main()
{
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        cin>>A[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
        A[i+n]=A[i+2*n]=A[i];
    memset(F,0,sizeof(F));
    for (int i=1;i<=n;i++)//枚举我们要计算的长度
    {
        for (int l=1;l<=2*n;l++)//枚举左端点
        {
            int r=l+i-1;//计算出右端点
            if (r>2*n)
                continue;
            for (int k=l+1;k<=r;k++)
                F[l][r]=max(F[l][r],F[l][k-1]+F[k][r]+A[l]*A[k]*A[r+1]);
            //cout<<F[l][r]<<" ";
        }
        //cout<<endl;
    }
    int Ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        Ans=max(Ans,F[i][i+n-1]);
    cout<<Ans<<endl;
    return 0;
}