【刷题】BZOJ 2005 [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

Solution

现在看这些式子简单的东西，感觉。。。

\(ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2(gcd(i,j)-1)+1\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-nm+2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-nm+2\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\mu(i)\lfloor \frac{n}{id} \rfloor \lfloor \frac{m}{id} \rfloor\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-nm+2\sum_{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \sum_{i|T}\mu(\frac{T}{i})i\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-nm+2\sum_{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \phi(T)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
const int MAXN=100000+10;
int vis[MAXN],cnt,prime[MAXN];
ll ans,s[MAXN],n,m,phi[MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(c!='\0')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
	memset(vis,1,sizeof(vis));
	vis[0]=vis[1]=0;
	phi[1]=1;
	for(register int i=2;i<MAXN;++i)
	{
		if(vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
		{
			vis[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j])phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
			else
			{
				phi[i*prime[j]]=1ll*phi[i]*prime[j];
				break;
			}
		}
	}
	for(register int i=1;i<MAXN;++i)s[i]=s[i-1]+phi[i];
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	init();
	if(n>m)std::swap(n,m);
	for(register int i=1;;)
	{
		if(i>n)break;
		int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=1ll*(n/i)*(m/i)*(s[j]-s[i-1]);
		i=j+1;
	}
	write(ans*2-n*m,'\n');
	return 0;
}