Codeforces 822D My pretty girl Noora(最小素因子的性质)

题目大意：一场选美比赛有N个人，可以分成N/x,每组x人。每组的比较次数为x（x-1）/2，f[N]为最后决出冠军所需的比较次数，可以通过改变x的值使f[N]改变。题目给出t,l,r(1 ≤ t < 109 + 7, 2 ≤ l ≤ r ≤ 5·106)。求 t^0⋅f(l)+t^1⋅f(l+1)+⋯+t^r−l⋅f(r) 的最小值对1e9+7的模。

解题思路：①如果人数为素数，那f[N]=N(N-1)/2;

　　　　　②如果不是素数，那就找出最小素因子x,分成N/x，每组x人，f[N]=N/x*f[x]+f[N/x]。

　　　　　关于②，比如6可以分为3个2或者2个3，所需比较数分别是5和7，显然分的组数越多越好。还有关于为什么加上f[N/x]，因为是递推的，所以f[N/x]肯定也是最小的，不用担心N/x不是素数还要在进行分组的问题。

代码：

 #include<iostream>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=5e6+;
 const ll MOD=1e9+;
 bool prime[N];
 ll p[N];
 ll f[N];
 int cnt;
 //素数表
 void is_prime(){
     for(int i=;i<=N;i++)
         prime[i]=true;
     for(int i=;i*i<=N;i++){
         if(prime[i]){
             p[cnt++]=i;
             for(int j=i*i;j<=N;j+=i){
                 prime[j]=false;
             }
         }
     }
 }
 
 int main(){
     is_prime();
     f[]=;
     for(int i=;i<N;i++){
         //判断是否为素数
         if(prime[i]){
             f[i]=((ll)i*(i-)/)%MOD;
         }
         else{
             //找最小素因子
             ll factor;
             for(int j=;j<cnt;j++){
                 if(i%p[j]==){
                     factor=p[j];
                     break;
                 }
             }
             f[i]=(i/factor*f[factor]+f[i/factor])%MOD;
         }
     }
     ll ans=;
     ll t,l,r;
     cin>>t>>l>>r;
     for(int i=r;i>=l;i--){
         ans=(ans*t)%MOD;
         ans=(ans+f[i])%MOD;
     }
     cout<<ans<<endl;
 }