Codeforces 822D My pretty girl Noora(最小素因子的性质)
题目大意:一场选美比赛有N个人,可以分成N/x,每组x人。每组的比较次数为x(x-1)/2,f[N]为最后决出冠军所需的比较次数,可以通过改变x的值使f[N]改变。题目给出t,l,r(1 ≤ t < 109 + 7, 2 ≤ l ≤ r ≤ 5·106)。求 t^0⋅f(l)+t^1⋅f(l+1)+⋯+t^r−l⋅f(r) 的最小值对1e9+7的模。
解题思路:①如果人数为素数,那f[N]=N(N-1)/2;
②如果不是素数,那就找出最小素因子x,分成N/x,每组x人,f[N]=N/x*f[x]+f[N/x]。
关于②,比如6可以分为3个2或者2个3,所需比较数分别是5和7,显然分的组数越多越好。还有关于为什么加上f[N/x],因为是递推的,所以f[N/x]肯定也是最小的,不用担心N/x不是素数还要在进行分组的问题。
代码:
- #include<iostream>
- using namespace std;
- typedef long long ll;
- const int N=5e6+;
- const ll MOD=1e9+;
- bool prime[N];
- ll p[N];
- ll f[N];
- int cnt;
- //素数表
- void is_prime(){
- for(int i=;i<=N;i++)
- prime[i]=true;
- for(int i=;i*i<=N;i++){
- if(prime[i]){
- p[cnt++]=i;
- for(int j=i*i;j<=N;j+=i){
- prime[j]=false;
- }
- }
- }
- }
- int main(){
- is_prime();
- f[]=;
- for(int i=;i<N;i++){
- //判断是否为素数
- if(prime[i]){
- f[i]=((ll)i*(i-)/)%MOD;
- }
- else{
- //找最小素因子
- ll factor;
- for(int j=;j<cnt;j++){
- if(i%p[j]==){
- factor=p[j];
- break;
- }
- }
- f[i]=(i/factor*f[factor]+f[i/factor])%MOD;
- }
- }
- ll ans=;
- ll t,l,r;
- cin>>t>>l>>r;
- for(int i=r;i>=l;i--){
- ans=(ans*t)%MOD;
- ans=(ans+f[i])%MOD;
- }
- cout<<ans<<endl;
- }
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