BSGS算法+逆元 POJ 2417 Discrete Logging

POJ 2417 Discrete Logging

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Description

Given a prime P, 2 <= P < 2³¹, an integer B, 2 <= B < P, and an integer N, 1 <= N < P, compute the discrete logarithm of N, base B, modulo P. That is, find an integer L such that

B^l==N(mod p)

Input

Read several lines of input, each containing P,B,N separated by a space.

Output

For each line print the logarithm on a separate line. If there are several, print the smallest; if there is none, print "no solution".

Sample Input

5 2 1
5 2 2
5 2 3
5 2 4
5 3 1
5 3 2
5 3 3
5 3 4
5 4 1
5 4 2
5 4 3
5 4 4
12345701 2 1111111
1111111121 65537 1111111111

Sample Output

0
1
3
2
0
3
1
2
0
no solution
no solution
1
9584351
462803587

 /*BSGS算法+逆元*/
 这个主要是用来解决这个题：

 A^x=B(mod C)(C是质数)，都是整数，已知A、B、C求x。

 我在网上看了好多介绍，觉得他们写得都不够碉，我看不懂…于是我也来写一发。

 先把x=i*m+j，其中m=ceil(sqrt(C))，（ceil是向上取整）。

 这样原式就变为A^(i*m+j)=B(mod C)，

 再变为A^j=B*A^(-m*i) (mod C)，

 先循环j=~(C-)，把（A^j,j)加入hash表中，这个就是Baby Steps

 下面我们要做的是枚举等号右边，从hash表中找看看有没有，有的话就得到了一组i j，x=i*m+j，得到的这个就是正确解。

 所以，接下来要解决的就是枚举B*A^(-m*i) (mod C)这一步（这就是Giant Step

 A^(-m*i)相当于1/(A^(m*i))，里面有除法，在mod里不能直接用除法，这时候我们就要求逆元。

 /*百度百科：

 若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。
 当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。
 */

 然后我们用超碉的exgcd求逆元，exgcd（扩展欧几里德算法）就是在求AB的最大公约数z的同时，求出整数x和y，使xA+yB=z。算法实现就是gcd加几个语句。
 然后我们再来看一下exgcd怎么求逆元：
 对xA+yB=z，

 变成这样xA = z - yB，取B=C（C就是我们要mod的那个）

 推导出 xA % C = z %C

 只要  z%C== 时,就可以求出A的逆元x

 但用exgcd求完，x可能是负数，还需要这样一下：x=(x%C+C)%C

 //--exgcd介绍完毕--

 再看我们的题目，

 exgcd(A^(m*i) , C)=z，当C是质数的时候z肯定为1，这样exgcd求得的x就是逆元了。

 因为x就是A^(m*i)的逆元，P/(A^(m*i))=P*x，所以

 B*A^(-m*i) = B/(A^(m*i)) = B*x(mod C)

 这样我们的式子A^j=B*A^(-m*i) (mod C)的等号右边就有了，就是B*x，就问你怕不怕！

 枚举i，求出右边在hash里找，找到了就返回，无敌！

 /*---------分割线-----------------------*/
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #define mod 100007
 #define ll long long
 struct hash
 {
     ll a[mod+],v[mod+];
     hash(){memset(a,-,sizeof(a));}
     int locate(ll x)
     {
         ll l=x%mod;
         while(a[l]!=x&&a[l]!=-) l=(l+)%mod;
         return l;
     }
     void insert(ll x,int i)
     {
         ll l=locate(x);
         if(a[l]==-)
         {
             a[l]=x;
             v[l]=i;
         }
     }
     int get(ll x)
     {
         ll l=locate(x);
         return (a[l]==x)?v[l]:-;
     }
     void clear()
     {
         memset(a,-,sizeof(a));
     }
 }s;
 void  exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
     if(b==)
     {
         x=;
         y=;
         return ;
     }
     exgcd(b,a%b,x,y);
     ll t=x;
     x=y;
     y=t-a/b*y;
 }
 int main()
 {
     ll p,b,n;
     while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&p,&b,&n)==)
     {
         s.clear();
         ll m=ceil(sqrt(p));
         ll t=;
         for(int i=;i<m;++i)
         {
             s.insert(t,i);
             t=(t*b)%p;
         }
         ll d=,ans=-;
         ll x,y;
         for(int i=;i<m;++i)
         {
             exgcd(d,p,x,y);
             x=((x*n)%p+p)%p;
             y=s.get(x);
             if(y!=-)
             {
                 ans=i*m+y;
                 break;
             }
             d=(d*t)%p;
         }
         if(ans==-)
           printf("no solution\n");
         else printf("%I64d\n",ans);
     }

     return ;
 }