【数学】【背包】【NOIP2018】P5020 货币系统

Description

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i] \times t[i]$ 的和为 $x$。然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 $n=3$, $a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

Input

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

Output

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

Solution

我居然被这个题差点搞退役……

观察题目给的样例，发现选择的货币集合是原集合的一个子集。

考虑证明，使用反证法，假设被选择的集合中，$k$是最小的在原集合中没有出现的数。因为新集合的元素能表示的原集合一定能表示，所以原集合一定存在一组数使得他们能表示出$k$。那么将那组数作为$k$，在后面可以表示$k$能表示出的所有数字，同时会比选择$k$少选择一个数，选择更优。证毕。

于是这道题选择的一定是原集合的一个子集。

考虑按照证明的思路，本题可以进一步转化为选择最少的数字拼出集合中的所有数字。这个操作可以通过完全背包实现：按照集合元素大小将元素从小到大排序，使用bool背包求出所有能被表示的数。在扫到第$i$个数字时，如果第$i$个数字不能被表示出，则将其选进集合中，使用它更新答案，否则跳过。

时间复杂度$O(Tn\max\{a\})$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long
typedef long long int ll;
template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	rg char ch=getchar(),lst=' ';
	while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
	while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	if(lst == '-') x=-x;
}
namespace IO {
	char buf[120];
}
template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
	if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
	rg int top=0;
	do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
	while(top) putchar(IO::buf[top--]);
	if(pt) putchar(aft);
}
const int maxn = 120;
const int maxt = 25010;
int t;
int n;
int MU[maxn];
bool frog[maxt];
void clear();
int main() {
	qr(t);
	while(t--) {
		clear();
		qr(n);
		for(rg int i=1;i<=n;++i) qr(MU[i]);
		int ans=0;
		std::sort(MU+1,MU+1+n);
		frog[0]=true;
		for(rg int i=1;i<=n;++i) if(!frog[MU[i]]) {
			++ans;
			for(rg int j=0;j<=MU[n];++j) if(frog[j]) {
				int k=j+MU[i];
				if(k <= MU[n]) frog[k]=true;
				else break;
			}
		}
		qw(ans,'\n',true);
	}
	return 0;
}
void clear() {
	n=0;
	memset(MU,0,sizeof MU);
	memset(frog,0,sizeof frog);
}

Summay

惨象，已使我目不忍视了。爆零，尤使我耳不忍闻。我还有什么话可说呢？沉默呵，沉默呵，不在沉默中爆发，就在沉默中灭亡。