网络赛牡丹江赛区E ZOJ3813（线段树）

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=5345

给定序列P，定义序列S为P反复重复得到的一个无穷长的序列：

if P = 3423537, then S = 3423537342353734235373423537...

再定义G(l, r) = S_l - S_l+1 + S_l+2 - ... + (-1)^r-lS_r

给两种操作：

1 x d：将序列P的第x想改为d（d是一个简单数字0~9）

2 l r  ：求sum of G(i, j) that l <= i <= j <= r.

比赛时看到这个题，以为是求G(l, r)，然后就高高兴兴用线段树开始敲了，快敲完才知道是求对任意的l <= i <= j <= r，求G（i, j） 的和

比赛快完了才想到思路，没时间敲了，今天花了大半天时间终于A掉。

按照题目要求，求sum of G(i, j) ，所以先把它化简，找下规律，很容易可以得到以下规律：

Sum{ G(i, j) } = (r - l + 1) * S[l]  + (r - l - 1) * S[l + 2] + (r - l - 3) * S[l + 4] + ... ...  + S[r]             (R-l+1)为奇数
                                                                                                                            + 2 * S[r-1]       (R-l+1)为偶数

注意上面相邻两项之间下标差都是2，由于不知道是需要用2*S[i] + 4*S[i-2]...  还是要用S[i] + 3*S[i-2]...，所以都保存起来

然后我们定义F[i][0] = S[i] + 3 * S[i-2] + 5 * S[i-4] +  ... ...

F[i][1] = 2 * S[i] + 4 * F[i-2] + 6 * F[i-4] +  ... ...

再定义P[i] = S[i] + S[i - 2] + S[i - 4] + ... ...

经过简单计算可以得出： 最后题目要求的Sum{ G(l, r) } = F[r] - F[l - 2] - k * P[l - 2]  (这里的F的第二维取决于（r-l+1）是奇还是偶，通过计算可以得到 令 len = (r - l + 1)  ,  那么 k = len + len % 2)  )

然后定义线段树节点：

 struct Node
 {
     int l, r;
     LL P[], F[][];
 }t[MAXN<<];

其中:
P[0] = S[r] + S[r - 2] + S[r - 4] + ... ... + S[k]   (k >= l)
P[0] = S[r-1] + S[r - 3] + S[r - 5] + ... ... + S[k]   (k >= l)

F[0][0] = S[r] + 3 * S[r - 2] + 5 * S[r - 4] + ... ... + x * S[k]  (k >= l)
F[0][1] = 2*S[r] + 4*S[r - 2] + 6*S[r - 4] + ... ... + x * S[k]  (k >= l)
F[1][0] = S[r-1] + 3 * S[r - 3] + 5 * S[r - 5] + ... ... + x * S[k]  (k >= l)
F[1][1] = 2*S[r-1] + 4*S[r - 3] + 6*S[r - 5] + ... ... + x * S[k]  (k >= l)

然后做线段树的单电修改，修改某个叶子节点后往上更新，  rc和lc对应于当前节点k的右子节点和左子节点,  len是rc节点的区间长度

     rep(i, , ) {
         rep(j, , ) {
             t[k].F[i][j] = ( t[rc].F[i][j] + t[lc].F[(len-i) & ][j]
                             + t[lc].P[(len-i) & ] * (len-i + (len-i)%) ) % MOD;
         }
         t[k].P[i] = (t[rc].P[i] + t[lc].P[(len - i) & ]) % MOD;
     }

接下来写两个查询，分别是查询[1, p]的P值， 和查询[1,p]的F值， flag用来标注是2,4,6,8... ... 还是 1, 3, 5, 7 ... ...增长

 LL query_pre(int k, int p)
 {
     if(t[k].l == t[k].r) return t[k].P[];
 
     int mid = (t[k].l + t[k].r) >> ;
 
     if(p <= mid) return query_pre(k<<, p);
 
     int re = (p - mid);
     return (t[k<<].P[re&] + query_pre(k<<|, p)) % MOD;
 }
 
 LL query_F(int k, int p, int flag)
 {
     if(t[k].l == t[k].r) return t[k].F[][flag];
 
     int mid = (t[k].l + t[k].r) >> ;
 
     if(p <= mid) return query_F(k<<, p, flag);
 
     int re = p - mid;
 
     return (t[k<<].F[re&][flag] + t[k<<].P[re&] * (re + re%) + query_F(k<<|, p, flag)) % MOD;
 }

这样，在不考虑 l 和 r 大于给定序列长度n的情况下，原题已经可解，答案就是：

query_F(1, r) - query_F(1, l - 2) - query_Pre(1, l - 2) * (len + len % 2)        (其中len = r - l + 1)

然后再考虑l 和 r比较大的情况，由于虽然l 和 r 比较大，但是给定序列的长度是小于1e5的， 所以说显然中间过程是可以直接推算出来的， 事实上，设原序列长度为n， len = (r - l + 1), 那么最初给出的序列会出现 k = (len - 1) / n 次，而这 k 次序列可以看做是 出现了k次F[n],以及 出现了 a * P[n], (a + n) * P[n], (a + 2 n) * P[n]... ...(a + (k-1)*n) * P[n]

这正好是一个等差数列， 所以计算新的F[r] (r >> n)时， F[n] = query(r) + k * F[n] + P[n] * (a + (a + d) + (a + 2 * d) + ... ... + (a + (k-1) * d) ).

注意， 上面的等差数列首项a还未确定， 公差d也还未确定， 也就是说，只要计算出a 和 d， 就计算出了我们的要求的答案。

注意到如果n（原序列长度）是偶数，又因为增量是2，所以可以计算出公差 d = n,而首项 a = p + p % 2  , 其中p = (r - 1) % n + 1,也就是最后一个剩下序列的长度

如果n是奇数，会出现有时我们需要的是F[n], 有时需要的又是F[n-1]，这是只要理解为两个等差数列就可以了，其中公差都是d = 2 * n, 但是首项不同

代码还有很多需要注意的小细节，很多地方需要反复计算（比如那两个等差数列），反正就是比较麻烦

 #include <map>
 #include <set>
 #include <stack>
 #include <queue>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <cctype>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define INF 1e9
 #define inf (-((LL)1<<40))
 #define lson k<<1, L, mid
 #define rson k<<1|1, mid+1, R
 #define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 #define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
 #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
 #define FOPENIN(IN) freopen(IN, "r", stdin)
 #define FOPENOUT(OUT) freopen(OUT, "w", stdout)
 #define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)
 template<class T> T CMP_MIN(T a, T b) { return a < b; }
 template<class T> T CMP_MAX(T a, T b) { return a > b; }
 template<class T> T MAX(T a, T b) { return a > b ? a : b; }
 template<class T> T MIN(T a, T b) { return a < b ? a : b; }
 template<class T> T GCD(T a, T b) { return b ? GCD(b, a%b) : a; }
 template<class T> T LCM(T a, T b) { return a / GCD(a,b) * b;    }
 
 //typedef __int64 LL;
 typedef long long LL;
 const int MAXN = ;
 const int MAXM = ;
 const double eps = 1e-;
 const LL MOD = ;
 
 struct Node
 {            // P[0] = S[r] + S[r-2] + S[r-4]...    P[1] = S[r-1] + S[r-3] + S[r-5] + ...
     int l, r;//F[0][0] = S[r] + 3 * S[r-2] + ...    F[0][1] = 2 * S[r] + 4 * S[r-2] + ...
     LL P[], F[][];// F[1][0] = S[r-1] + 3 * S[r - 3] + ...  F[1][1] = 2 * S[r-1] + 4 * S[r-3] + ...
 }t[MAXN<<];
 int n, cas, q;
 char str[];
 
 //建树
 void build(int k, int L, int R)
 {
     t[k].l = L;
     t[k].r = R;
     t[k].P[] = t[k].P[] = ;//P和F统统初始化为0
     rep (i, , ) rep(j, , )
         t[k].F[i][j] = ;
     if(L == R) return ;
 
     int mid = (R + L) >> ;
     build(k<<, L, mid);
     build(k<<|, mid + , R);
 }
 
 //从子节点更新父节点
 void push_up(int k)
 {
     int lc = k<<, rc = k<<|;
     int re = t[rc].r - t[rc].l + ;//右侧节点长度
     rep(i, , ) {
         rep(j, , ) {
             if(re== && i==) {//特殊处理右侧只有一个节点的情况
                 t[k].F[i][j] = t[lc].F[][j];
                 continue;
             }
             t[k].F[i][j] = ( t[rc].F[i][j] + t[lc].F[(re-i) & ][j]
                             + t[lc].P[(re-i) & ] * (re-i + (re-i)%) ) % MOD;
         }
         t[k].P[i] = (t[rc].P[i] + t[lc].P[(re - i) & ]) % MOD;
     }
 }
 
 //将位置为p的节点更新为val
 void update(int k, int p, int val)
 {
     if(t[k].l == t[k].r) {
         t[k].P[] = t[k].F[][] = val;
         t[k].F[][] =  * val;
         return;
     }
     int m = (t[k].l + t[k].r) >> ;
 
     if(p <= m) update(k<<, p, val);
 
     else update(k<<|, p, val);
 
     push_up(k);
 }
 
 LL query_pre(int k, int p)//询问S[p] + S[p-2] + ...
 {
     if(t[k].l == t[k].r) return t[k].P[];
 
     int mid = (t[k].l + t[k].r) >> ;
 
     if(p <= mid) return query_pre(k<<, p);
 
     int re = (p - mid);
     return (t[k<<].P[re&] + query_pre(k<<|, p)) % MOD;
 }
 
 LL query_F(int k, int p, int flag)//询问F[p][flag] + F[p-2][flag] + ...
 {
     if(t[k].l == t[k].r) return t[k].F[][flag];
 
     int mid = (t[k].l + t[k].r) >> ;
 
     if(p <= mid) return query_F(k<<, p, flag);
 
     int re = p - mid;
 
     return (t[k<<].F[re&][flag] + t[k<<].P[re&] * (re + re%) + query_F(k<<|, p, flag)) % MOD;
 }
 
 LL get_mul(LL fir, LL d, LL k)//计算首项为fir，公差为d，项数为k的等差数列和
 {
     LL tmp1 = (k % MOD) * (fir % MOD) % MOD;
     LL tmp2 = k;
     if( k %  ==  )
         tmp2 = k /  % MOD * ((k-) % MOD) % MOD;
     else
         tmp2 = k % MOD * ((k-) /  % MOD)  % MOD;
     tmp2 = tmp2 * (d % MOD) % MOD;
     return (tmp1 + tmp2) % MOD;
 }
 
 //计算F[p][flag] + F[p-2][flag] + ... ...(这里p >> n)
 LL get_F(LL p, LL flag)
 {
     LL k = (p - ) / n;
     p = (p - ) % n + ;
     LL ans = query_F(, p, flag);
     if(n %  ==  && k > ) {//这里n是偶数，只有一个等差数列
         ans = (ans + k % MOD * t[].F[p&][flag] ) % MOD;
                     //首项为p + p%2, 公差为n， 项数为k
         ans = (ans + get_mul(p + p % , n, k) * t[].P[p&] % MOD) % MOD;
     }
     else if(n %  ==  && k > ) {//n是奇数，会存在两个等差数列
         LL tmp = p %  ? - : ;
 
         ans = (ans + (k+)/ % MOD * t[].F[p&][flag]) % MOD;
 
         ans = (ans + k/ % MOD * t[].F[!(p&)][flag]) % MOD;
 
         ans = (ans + get_mul(p + p%, n*, (k+)/) * t[].P[p&] % MOD) % MOD;
 
         ans = (ans + get_mul(p + p% + n + tmp, n*, k/) * t[].P[!(p&)] % MOD) % MOD;
     }
     return ans;
 }
 
 //拿到P[p] + P[p-2] + P[p-4] + ... ... (p >> n)
 LL get_P(LL p)
 {
     LL k = (p - ) / n;
     p = (p - ) % n + ;
     LL ans = query_pre(, p);
     if(n %  ==  && k > ) {
         ans = (ans + k % MOD * t[].P[p&]) % MOD;
     }
     else if(n %  ==  && k > ) {
         ans = (ans + (k+)/ % MOD * t[].P[p&]) % MOD;
 
         ans = (ans + k/ % MOD * t[].P[!(p&)]) % MOD;
     }
     return ans;
 }
 
 int main()
 {
     freopen("in.txt", "r", stdin);
     //freopen("out.txt", "w", stdout);
     scanf("%d%*c", &cas);
     while(cas--)
     {
         LL a, b, c;
         gets(str);
         build(, , n=strlen(str));
         for(int i = ; i < n; i ++)
             update(, i + , str[i] - '');
         scanf("%d", &q);
         while(q--) {
             scanf("%lld %lld %lld%*c", &a, &b, &c);
             if(a == ) update(, (int)b, (int)c);
             else {
                 LL rf = , lf = , lp = ;
                 LL len = (c - b + ), tmp = (len &  ^ );
                 rf = get_F( c - tmp, tmp );
                 if(b > ) {
                     lf = get_F( b-, tmp );
                     lp = get_P( b- );
                 }
                 //计算节结果
                 LL ans = ((rf - lf - (len + len%) % MOD * lp) % MOD + MOD) % MOD;
                 printf("%lld\n", ans);
             }
         }
     }
     return ;
 }