Luogu P4171 [JSOI2010]满汉全席 2-sat

终于搞懂了\(2-sat\)。实际上是个挺简单的东西，像网络流一样关键在于建模。

问题：\(n\)个数\(A\)，可以选择\(0\)和\(1\)，现在给你\(m\)组条件\(A\)，\(B\)，对每个条件要求\(A\)为真或者\(B\)为真。

\(2-sat\)的建图方法：把每一个或条件拆成两个。例如对于条件\(A\) \(or\) \(B\)：

• 如果\(A\)为假，那么\(B\)必须为真。（\(A_false\) \(->\) \(B_true\)）
• 如果\(B\)为假，那么\(A\)必须为真。（\(B_false\) \(->\) \(A_true\)）

即一条边代表一条指向条件，选择一个点就代表着同时要选择它的闭合子图中的其他点。容易知道：如果存在一个圈，其中同时包含\(x_false\)和\(x_true\)，那么取值选择无解。这个过程可以用\(Tarjan\)求\(scc\)来做。

可行解的构造：把原图缩成若干\(scc\)后，对每个条件\(A\)，我们优先选对应点拓扑序比较大的那个值，这样就可以向着最容易出解的方向选择。（选择一个点就代表着同时要选择它的闭合子图中的其他点。）

特定解的构造：暴力。此问题\(np\)完全。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200 + 5;
const int M = 2000 + 5;
struct Graph {
	int cnt, head[N];
	struct Edge {
		int nxt, to;
	}e[M];
	void clear () {
		cnt = -1;
		memset (head, -1, sizeof (head));
	}
	void add_edge (int u, int v) {
		e[++cnt] = (Edge) {head[u], v}; head[u] = cnt;
	}
	stack <int> sta;
	int _dfn, _sccid;
	int inq[N], dfn[N], low[N], sccid[N];
	void Tarjan (int u) {
		dfn[u] = low[u] = ++_dfn;
		inq[u] = true; sta.push (u);
		for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].nxt) {
			int v = e[i].to;
			if (!dfn[v]) {
				Tarjan (v);
				low[u] = min (low[u], low[v]);
			} else if (inq[v]) {
				low[u] = min (low[u], dfn[v]);
			}
		}
		if (dfn[u] == low[u]) {
			int tmp; ++_sccid;
			do {
				tmp = sta.top ();
				inq[tmp] = false;
				sccid[tmp] = _sccid;
				sta.pop ();
			}while (tmp != u);
		}
	}
	void get_scc (int n) {
		_dfn = _sccid = 0;
		memset (inq, 0, sizeof (inq));
		memset (dfn, 0, sizeof (dfn));
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (!dfn[i]) Tarjan (i);
		}
	}
}G;
int T, n, m;
int node (int x, int t) {
	return n * t + x;
}
int main () {
	// freopen ("data.in", "r", stdin);
	cin >> T;
	while (T--) {
		cin >> n >> m; G.clear ();
		for (int i = 1; i <= m; ++i) {
			static int u, v, t1, t2;
			while (!isalpha (t1 = getchar ())); cin >> u;
			while (!isalpha (t2 = getchar ())); cin >> v;
			t1 = t1 == 'm' ? 0 : 1;
			t2 = t2 == 'm' ? 0 : 1;
			G.add_edge (node (u, !t1), node (v, t2));
			G.add_edge (node (v, !t2), node (u, t1));
		}
		G.get_scc (n << 1);
		bool succ = true;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (G.sccid[node (i, 0)] == G.sccid[node (i, 1)]) {
				succ = false; break;
			}
		}
		puts (succ ? "GOOD" : "BAD");
	}
}