[CSP-S模拟测试]:矩阵游戏（数学）

题目描述

$LZK$发明一个矩阵游戏，大家一起来玩玩吧，有一个$N$行$M$列的矩阵。第一行的数字是$1,2,...,M$，第二行的数字是$M+1,M+2,...,2\times M$，以此类推，第$N$行的数字是$(N-1)\times M+1,(N-1)\times M+2,...,N\times M$。
例如$N=3,M=4$的矩阵是这样的:
1    2    3    4
5    6    7    8
9    10    11    12
对于身为智慧之神的$LZK$来说，这个矩阵过于无趣。于是他决定改造这个矩阵，改造会进行$K$次，每次改造会将矩阵的某一行或某一列乘上一个数字，你的任务是计算最终这个矩阵内所有数字的和，输出答案对${10}^9+7$取模。

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输入格式

第一行包含三个正整$N$、$M$、$K$，表示矩阵的大小与改造次数。接下来的行，每行会是如下两种形式之一：
$R\ X\ Y$，表示将矩阵的第$X$行变为原来的$Y$倍。
$S\ X\ Y$，表示将矩阵的第$X$列变为原来的$Y$倍。

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输出格式

输出一行一个整数，表示最终矩阵内所有元素的和对${10}^9+7$取模的结果。

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样例

样例输入1：

3 4 4
R 2 4
S 4 1
R 3 2
R 2 0

样例输出1：

94

样例输入2：

2 4 4
S 2 0
S 2 3
R 1 5
S 1 3

样例输出2：

80

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数据范围与提示

$40\%$的数据满足：$1\leqslant N,M\leqslant 1,000$；
$80\%$的数据满足：$1\leqslant N,M\leqslant 1,000,000,1\leqslant K\leqslant 1,000$；
$100\%$的数据满足：$1\leqslant N,M\leqslant 1,000,000,1\leqslant K\leqslant 100,000$。

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题解

$40\%$算法：

暴力求出每一个点的初始值，暴力更改，暴力统计答案。

时间复杂度：$\Theta(N\times K)$。

期望得分：$40$分。

$100\%$算法：

显然，我们如果$\Theta(N\times M)$求出每一个点的初始值是不能接受的，所以我们考虑用式子推出，点$(i,j)$的初始值就是$(i-1)\times M+j$。

考虑乘法交换律，先乘和后乘一样，所以我们可以预处理出来$\prod R$和$\prod S$，设其分别为$h[i]$和$l[i]$。

再来推式子，每一个点对答案的贡献就是：$((i-1)\times M+j)\times h[i]\times l[i]$。

把式子拆开：$(i-1)\times M\times h[i]\times l[i]+j\times h[i]\times l[i]$。

我们可以维护$sumh=\sum \limits_{i=1}^N h[i]$和$sum=\sum \limits_{i=1}^N (i-1)\times M\times h[i]$。

那么答案即为$\sum \limits_{i=1}^M (sum+i\times sumh)\times l[i]$。

具体实现看代码叭～

时间复杂度：$\Theta(N+M)$。

期望得分：$100$分。

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代码时刻

$40\%$算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k;
long long Map[5000][5000];
long long ans;
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			Map[i][j]=++cnt;
	while(k--)
	{
		char ch[5];
		long long x,y;
		scanf("%s%lld%lld",ch+1,&x,&y);
		if(ch[1]=='R')
			for(int i=1;i<=m;i++)
				Map[x][i]=(Map[x][i]*y)%1000000007;
		else
			for(int i=1;i<=n;i++)
				Map[i][x]=(Map[i][x]*y)%1000000007;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			ans=(ans+Map[i][j])%1000000007;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

$100\%$算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k;
int h[1000001],l[1000001];
int sum,sumh,ans;
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=1000000;i++)
		h[i]=l[i]=1;
	while(k--)
	{
		char ch[3];
		int x,y;
		scanf("%s%d%d",ch+1,&x,&y);
		if(ch[1]=='R')h[x]=1LL*h[x]*y%1000000007;
		else l[x]=1LL*l[x]*y%1000000007;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum=(sum+(1LL*(i-1)*m+1)%1000000007*h[i]%1000000007)%1000000007;
		sumh=(sumh+h[i])%1000000007;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		ans=(ans+1LL*sum*l[i]%1000000007)%1000000007;
		sum=(sum+sumh)%1000000007;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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