倍增求LCA算法详解

算法介绍：

看到lca问题（不知道lca是什么自（bang）行（ni）百度），不难想到暴力的方法；

先把两点处理到同一深度，再让两点一个一个祖先往上找，直到找到一个相同的祖先；

这么暴力的话，时间复杂度基本上是$ o(n) $；

而观察一下暴力的过程，就会发现，其实一个一个祖先往上找效率非常的低，有没有能优化这一过程的方法呢？这时，强大的倍增就出现了，能够把暴力优化到$ o(log(n)) $；

倍增，简单说就是把一步一步跳替换成每次跳$ 2^i $个祖先；

做法：

先预处理出每个点的深度（dfs或bfs），以及跳$ 2^i $个祖先后所在的位置（fa[i][j]表示第i个点跳$ 2^j $个祖先后的位置，再递推）；

然后同理暴力，先把两点跳到同一深度（也用倍增），每次跳$ 2^i $个祖先，判断是否相等，如果相等就不跳（原因见易错点），否则跳；

难点：

1、递推时方程为fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]，因为i跳$ 2^j $个祖先后所在的位置等于i连跳两次$ 2^{j-1} $个祖先后所在的位置；

2、递推时，j先扫1到20，i再扫1到n，因为每次更新f[i][j]要用到另外的位置跳$ 2^{j-1} $个祖先后所在的位置；

3、两个点跳的时候，如果相等，是不能直接输出的，有可能跳过头，就不是最近的公共祖先了；

4、每次读进来的边要存两次（树是无向图），同理，邻接表的数组也要开两倍长；

相关题目

1、洛谷p3379

模板题，放上丑陋的代码

 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int MAXN=;//两倍长
 int tot,n,m,s,first[MAXN],last[MAXN],next[MAXN],to[MAXN],depth[MAXN],fa[MAXN][];
 //depth是每个点的深度，fa[i][j]表示第i个点跳2^j个祖先后的位置
 bool visited[MAXN];
 inline int read()//快读
 {
    int s=,w=;
    char ch=getchar();
    while(ch<=''||ch>''){if(ch=='-')w=-;ch=getchar();}
    while(ch>=''&&ch<='') s=s*+ch-'',ch=getchar();
    return s*w;
 }
 void swap(int &x,int &y)
 {
     int k=x;
     x=y;
     y=k;
 }
 void add(int x,int y)//古董邻接表
 {
     ++tot;
     if(first[x]==) first[x]=tot; else next[last[x]]=tot;
     last[x]=tot;
     to[tot]=y;
 }
 void dfs(int now,int dep,int fat)//深搜求深度
 {
     if(visited[now]) return;
     visited[now]=true;
     depth[now]=dep;
     fa[now][]=fat;//要记得fa[i][0]存i的父亲（跳一（2^0）个祖先）
     for(int i=first[now];i;i=next[i])
     {
         dfs(to[i],dep+,now);
     }
 }
 int lca(int x,int y)
 {
     if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y);
     for(int i=;i>=;--i)
     if(fa[x][i]!=&&depth[fa[x][i]]>=depth[y])
     {
         x=fa[x][i];
     }
     if(x==y) return x;
     for(int i=;i>=;--i)
     if(fa[x][i]!=&&fa[y][i]!=&&fa[x][i]!=fa[y][i])
     {
         x=fa[x][i];
         y=fa[y][i];
     }
     return fa[x][];
 }
 int main()
 {
     n=read();
     m=read();
     s=read();
     for(int i=;i<=n-;++i)
     {
         int x,y;
         x=read();
         y=read();
         add(x,y);
         add(y,x);
     }
     dfs(s,,);
     for(int j=;j<=;++j)
         for(int i=;i<=n;++i)
         fa[i][j]=fa[fa[i][j-]][j-];
     for(int i=;i<=m;++i)
     {
         int x;
         int y;
         x=read();
         y=read();
         printf("%d\n",lca(x,y));
     }
     return ;
 }