noip级别模板小复习

不是很noip的知识点就不写了。

dij什么的太easy就不写了。

缩点

• 注意\(Tarjan\)在缩边双和求强联通分量时候的区别。
• 一个要判断是否在栈内一个不要。
• 最后\(topsort\)来\(dp\)，或者记忆化搜索，但是一定要记得初值为\(-1\)。
• 考虑图不联通。

负环

• 考虑图不联通。
• 一开始\(dis=0\)，判断最短路长度大于\(n\)会好一些。
• \(dfs\)型\(spfa\)是指数级的。

ST表

• 注意是\(i\)到\(i+2^k-1\)。
• 所以预处理的时候不要减1，因为已经减过了。查询的时候要加1因为要把减去的1去掉。

Mx[j][i]=max(Mx[j-1][i],Mx[j-1][i+(1<<(j-1))]);
printf("%d\n",max(Mx[k][l],Mx[k][r-(1<<k)+1]));

• \(O(n)\)预处理\(log\)。

线性基

• 用于查询多个数异或问题，本质是高斯消元，也可以用来解方程（\(flash\)的考试题）。
• 记得\(1ll\)，线性基的值域与原数组的值域相同，且各个之间线性无关。
• 如果要查询某个数，就是查找某个数是否可以由这\(n\)个数中任一个数异或得到。首
• 从高到低扫这个数的每一位，如果这第\(i\)位为\(1\)，就异或上\(P_i\)，然后知道处理到最后一位。如果变成 \(0\) 了，那么就是可以的。
• 查询第\(k\)大数。
• 查询异或集合中k小值
• 我们考虑改造一下线性基，使得每一位互相独立。
• 如果\(j<i\)，且\(p_i\)的第\(j\)位是\(1\)，就把\(p_i\ xor\ p_j\)。
• 这样，对于二进制的每一位\(i\)。只有\(p_i\)这一位是\(1\)，其他的都是\(0\)。
• 同样，这个线性基的本质也是没有改变的。
• 我们查询的时候，将\(k\)进行二进制拆分，如果第\(i\)位是\(1\)，就异或上线性基中第\(i\)个元素，最终得出的答案就是\(k\)小值。
• 此外，需要对非满秩的矩阵进行特判。因为其存在\(0\)的结果，如果要求最小，那么就是\(0\)。
• 如果不是，那么就是求当前矩阵下的第\((k-1)\)小。

splay 区间反转

• 和\(lct\)一样，注意栈序下放标记

S[S[0]=1]=x;
for(R i=x;fa[i];i=fa[i])S[++S[0]]=fa[i];
while(S[0])push(S[S[0]--]);

• 一定要记得先\(find\)到目标点再转到根而不是直接做。这里的\(find\)和整体二分是不一样的！

push(x);
if(k<=sz[ls])x=ls;
else if(k==sz[ls]+1){spl(x,gl);return x;}
else k-=(sz[ls]+1),x=rs;

• 提醒几个常见小错误：

void rot(R x){
    R y=fa[x],z=fa[y],k=son(x);
    ch[z][son(y)]=x,fa[x]=z;
    ch[y][k]=ch[x][k^1],fa[ch[x][k^1]]=y;
    ch[x][k^1]=y,fa[y]=x;upd(y);
}

• \(rot\)要\(upd(y)\)，而不是\(upd(x)\)，如果都\(upd\)要先\(y\)再\(x\)，不要搞反。
• 注意一开始要先记下来\(x\)是哪一个儿子，然后先拆开，再接起来。

for(R y=fa[x];y!=gl;rot(x),y=fa[x])
    if(fa[y]!=gl)son(x)^son(y)?rot(x):rot(y);
upd(x);if(!gl)rt=x;

• 记得判断\(y\)和\(gl\)的关系再决定转一次还是两次还是不转。
• 一定记得更新\(x\)和\(rt\)。

splay 普通平衡树

• 每次打这个都像在做模拟题……。
• 两个log的树状数组把一个log的splay掉起来打
• treap只会过两个月现在早就忘了
• 太麻烦了，还不如树状数组或者线段树。
• 反正你又没有区间反转。
• 太热了不写了咕咕。

树链剖分

• 剖分之后一般是搞个线段树对\(dfn\)序维护。
• 树上路径就暴力跳重链条，两个\(log\)。
• 子树信息就直接是\(dfn\)到\(dfn+sz-1\)的连续区间，一个\(log\)。
• 如果是维护儿子信息就是\(bfs\)序 [SDOI2012]集合
• 但是我不会啊，咕。

倍增

• 太普及了。

左偏树

• 可并堆，注意不能路径压缩。
• 合并的时候根据堆的属性来判断，合并在右子树。
• 然后强制向左偏，我的习惯是深度向左偏。
• 记得更新\(d_i=d_{rs}+1\)。
• 删除元素就把两个儿子并起来。

kmp

• 核心思想是尝试匹配。
• 求\(next\)的时候是

j=f[i-1];
while(j>=0&&T[i]!=T[j+1])j=f[j];
if(T[i]==T[j+1])f[i]=j+1;
else f[i]=-1;

• 也就是不断尝试能否接上一个新的后缀，否则就不断跳\(next\)，直到为\(-1\)。
• 查询的时候是j=f[j-1]+1;，也就是往前走一个，再调\(next\)，再往后走一个，也就是\(j\)失配，\(j-1\)配对好了，那么利用\(j-1\)的\(next\)，再往后走一个。

AC自动机

• 主要思想是\(fail\)树。
• 先建好\(trie\)，然后建\(fail\)，然后每次匹配的时候都把\(fail\)的信息都收集一边。

trie

• 难道你会了\(ac\)自动机还不会\(trie\)？？
• 可持久化：和主席树差不多，序列就是相差，树上就是减去两倍\(lca\)
• 启发式合并：和线段树启发合并差不多，也是一个\(merge\)。

最小生成树

• 本来想补一下\(B\)算法。
• 但是咕咕了。

dinic

• 记得当前弧优化，边从\(2\)开始。
• 主要技巧在建图，后面都是板子。

最小费用最大流

• 同上。

主席树

• 动态开点，一般和别的数据结构结合在一起。
• 序列右边继承左边，树上儿子继承父亲。

点分治

• 你家\(noip\)考点分治？？咕咕。

manacher

• 记录最远到达的位置和中心。
• 然后就知道了当前点的半径下界是对称过去的半径。
• 然后暴力更新当前半径，更新最远距离和中心。

模拟退火

• 系统钟

db Tim(){return (db)clock()/(db)CLOCKS_PER_SEC;}

• 生成一个于\(T\)大小相关的随机，带正负。

#define RD T*(rand()*2-RAND_MAX)

• 接受更劣解的概率

exp((ans-now)/T)*RAND_MAX>rand())

• 注意，\(now\)是当前答案，\(ans\)是当前\(sa\)的最优解，记得保存全局最优解\(bst\)。
• 随机数组

random_shuffle(x+1,x+n+1);

CDQ

• 每次强制计算跨过中点的贡献。

kdtree

• 注意替罪羊的重构方法。

最小循环表示法

• 今天才学。
• 先倍长，初始时，让\(i=0\)，\(j=1\)，\(k=0\),其中\(i\)，\(j\)，\(k\)表示的是以\(i\)开头和以\(j\)开头的字符串的前k个字符相同。
• 分为三种情况
• 1.如果\(str[i+k]==str[j+k]\) \(k++\)。
• 2.如果\(str[i+k] > str[j+k]\) \(i = i + k + 1\)，即最小表示不可能以\(str[i->i+k]\)开头。
• 3.如果\(str[i+k] < str[j+k]\) \(j = j + k + 1\)，即最小表示不可能以\(str[j->j+k]\)开头。
• 那么只要循环\(n\)次，就能够判断出字符串的最小表示是以哪个字符开头。
• 为什么当\(str[i+k] > str[j+k]\),\(i=i+k+1\)，最小表示不可能以\(str[i->i+k]\)开头,让我们来举个栗子。
• 如下图，当\(i=1\)，\(j=5\)，\(k=3\)时，\(str[i+k] > str[j+k]\)。
• 首先有\(S1S2S3 == S5S6S7\)，\(S4 > S8\)。
• 那么以字符\(S2\)开头肯定不如以字符\(S6\)开头更优，因为\(S4 > S8\)啊。

莫队

• 太热了不写了。