The 18th Zhejiang Provincial Collegiate Programming Contest

GYM链接 https://codeforces.com/gym/103055

F

题意：

给定两个整数$n$和$m$,有两种操作：

当$n\geq 2$时,将$n$的值减少$1$。
将$m$的值增加$1$。

求最小操作数，使得$n|m$。

思路：

显然，当$n\geq m$时答案为$n - m$, 下面我们来讨论当$n < m$时的情况：
我们假设当取得答案时的$n$的值为$x$,对于此情况下，要使满足题意的$m$的值为$x\times \lceil \frac {m} {x} \rceil$.
下面我们先来证明这个结论：
记此时的$m$为$m_0$.
$\because$ $m$%$x\neq0$.
$\therefore$ $m = x\times q + c.(c < x)$ $\Rightarrow q = \frac{m - c}{x}.$
显然 $m_0 = x \times(q + 1) = x \times (\frac {m - c}{x} + 1) = x \times (\frac{m - c + x}{x})$.
$\because$ $c < x$.
$\therefore$ $\frac{m - c + x}{x} = \lceil$$\frac{m}{x}\rceil$.
$\therefore$ $m_0 = x \times $ $\lceil$$\frac{m}{x}\rceil$.
所以对于给定的$x$我们的最终答案$ans = x \times $ $\lceil$$\frac{m}{x}\rceil - m + n - x$,显然我们只要考虑 $x \times \lceil \frac mx \rceil - x$.
那么问题就变成了求 $f(x)_{min} = x \times \lceil \frac mx \rceil - x.(1 \leq x \leq n)$
我们发现对于这个式子,我们除了从$1$到$n$去枚举，我们别无他法，但这显然时间复杂度较高，我们是不可以接受的，所以我们要继续化简它。
$f(x) = x \times \lceil \frac mx \rceil - x = x \times \lfloor \frac{m + x -1}{x} \rfloor - x = x \times(\lfloor\frac{m + x -1 }{x} \rfloor - 1) = x \times(\lfloor\frac{m + x - x - 1}{x} \rfloor)= x \times \lfloor \frac {m-1}{x} \rfloor$
到了这里，我们终于看到了一个熟悉的式子，上面这个式子我们可以使用整除分块来解决。
下面我们再来解释一下如何解决上面这个式子：
我们先忽略对$m$的减$1$,我们很容易可以发现,对于固定的$m$和任意的$x$,有相当连续一段的$x$对于$\lfloor \frac {m }{x}\rfloor$的值是一样的，我们把值相同的所有连续的$x$切割成一段，本题让我们求的是最小值，那我们只要枚举每一段的第一个数取最小值就可以了，那么究竟每一段右端是多少呢？
对于$\forall x(x\leq m)$,我们要找到一个最大的$j$，使得$\lfloor \frac {m}{x}\rfloor$ = $\lfloor \frac {m}{j}\rfloor$.
我们设$k = \lfloor \frac {m}{x}\rfloor$,那么:
$\lfloor \frac {m}{j}\rfloor = k \Leftrightarrow k \leq \frac mj < k + 1 \Leftrightarrow \frac {1}{k + 1} < \frac jm \leq \frac 1k \Leftrightarrow \frac{m}{k + 1} < j \leq \frac mk$,又因为$j$是整数,所以$j_{max} = \lfloor \frac mk \rfloor = \lfloor \frac{m}{\lfloor \frac m x\rfloor} \rfloor$.
至此，我们终于找到了这个区间的右端。所以我们可以在$O(\sqrt m）$ 的时间内枚举完成.

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define endl '\n'

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef long double ld;

const double eps = 1e-6;

const ll N = 1e3 + 10;

const ll M = 4e6 + 10;

const ll INF = 1e8+10;

const ll mod = 1e9+7;

#define ywh666 std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);

#define all(a) a.begin(),a.end()

int main(){

    ywh666;

    int t;

    cin >> t;

    while(t --){

        int m, n;

        cin >> n >> m ;

        int mi = 0x3f3f3f3f;

        if(n >= m){

            cout << n - m << endl;

        }else{

            m -- ;

            for(int l = 1, r ; l <= n ; l = r + 1){

                r = min(n, m / (m / l));

                mi = min(mi, (m / l) * l);

            }

            cout << mi + n - m - 1 << endl;

        }

    }

    return 0 ;

}