至少要几个砝码，可以称出 1g ~ 40g 重量

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前言

大家好，我是小彭。

在计算机面试中，逻辑类题目是规模以上互联网公司的必考题。由于题目花样百出，准备难度较大，题海战术可能不是推荐的做法。在这个系列里，我将精选十道非常经典的逻辑题，希望能帮助你找到解题思路 / 技巧。如果能帮上忙，请务必点赞加关注，这真的对我非常重要。

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系列文章：

• 我知道你不知道，我到底知不知道
• 至少要几个砝码，可以称出 1g ~ 40g 重量
• 舞会上有多少顶黑帽？
• 25 匹马 5 条赛道，最快需要几轮求出前 3 名？

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1. 问题描述

给定一台天平，至少要几个砝码，可以称出 1g ~ 40g 这 40 个重量？

这个问题等同于 “德·梅齐利亚克砝码”问题：一位商人有一个 40 磅的砝码，由于跌落在地而碎成4 块。后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这 4 块来称从 1 ~ 40 磅之间的任意整数磅的重物。（引用自法国数学家 G.B.德·梅齐里亚克）问这 4 块砝码碎片各重多少？

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2.解题关键

砝码的和与差： 假设有 m 和 n 两个砝码（m > n），除了可以称出 m + n 的重量外，还可以称出 m - n 的重量。

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3. 题解

令 $A_x$ 表示第 $x$ 块砝码的重量。

• 第 1 块砝码 $A_1$：为了称取重量 1g ，必须拥有一枚重量为 1g 的砝码，即 $A_1$ = 1。目前可以称 {1, 2, 3}。
• 第 2 块砝码 $A_2$：砝码组 $[1, A2]$，可以称出 ${1, A_2 - 1, A_2, A_2 + 1}$。为了称取重量 2g，显然有 $A_2$ - 1 = 2，即 $A_2$ = 3。目前可以称 {1, 2, 3, 4}。
• 第 3 块砝码 $A_3$：砝码组 $[1, 3, A3]$，可以称出 ${1, 2, 3, 4, A_3 - 4, A_3 - 3, A_3 - 2, A_3 - 1, A_3, A_3 + 1, A_3 + 2, A_3 + 3, A_3 + 4}$。为了称取重量 5g，显然有 $A_3$ - 4 = 5，即 $A_3$ = 9。目前可以称 {1, 2, 3, 4, ..., 13}。
• 第 4 块砝码：同理，第 4 块砝码 $A_4$ = 27，可以称出 ${1, 2, 3, 4,..., 40}$。总共需要 4 个砝码。

参考资料

• 《拜托，面试别再问我三进制了！！！》 —— 沈剑 著
• 《世界上最完美的砝码组合---神秘的“3”重现江湖！》 —— 隔壁家的二傻子 著

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