给定一个函数rand()能产生0到n-1之间的等概率随机数,问如何产生0到m-1之间等概率的随机数?
题目:给定一个函数rand()能产生1到n之间的等概率随机数,问如何产生1到m之间等概率的随机数?
先把问题特殊化,例如原题变为给定一个函数rand5(),该函数可以随机生成1-5的整数,且生成概率一样。现要求使用该函数构造函数rand7(),使函数rand7()可以随机等概率的生成1-7的整数。
很多人的第一反应是利用rand5() + rand()%3来实现rand7()函数,这个方法确实可以产生1-7之间的随机数,但是仔细想想可以发现数字生成的概率是不相等的。rand()%3 产生0的概率是1/5,而产生1和2的概率都是2/5,所以这个方法产生6和7的概率大于产生5的概率。
正确的方法是利用rand5()函数生成1-25之间的数字,然后将其中的1-21映射成1-7,丢弃22-25。例如生成(1,1),(1,2),(1,3),则看成rand7()中的1,如果出现剩下的4种,则丢弃重新生成。
现在来看原题把rand()视为N进制的一位数产生器,那么可以使用rand()*N+rand()来产生2位的N进 制数,以此类推,可以产生3位,4位,5位...的N进制数。这种按构造N进制数的方式生成的随机数,必定能保证随机概率平均。而相反,借助其他方式来使用 rand()产生随机数(如 rand5() + rand()%3 )都是不能保证概率平均的。
程序实现:
int random(int m,int n)
{
if(n<||m<)//输入参数错误
return -;
if(m<)//小于2则只能生成1
return ;
if(m==n)//和n相同即可
return rand();
int max = ;//组成新n进制数当前位数下最大数
int k = ;//随机数
while(max+<m)//求得新n进制数当前位数下最大数小于m,则继续放大新n进制数的位数
{
k = k*n + rand()-;//转换成0到n-1的n进制数。一位时0到n-1,两位时0到(n-1)*n+n-1。此时保证了生成0到最大数之间的各个数的概率是相等的
max = max*n + n-;//求n进制数当前位数下的最大数。一位数时n-1,两位数时(n-1)*n+n-1,三位数时(n-1)*n*n+(n-1)*n+n-1
//随机数超出了范围则重新计算。除m再乘m是为了对生成的k进行分组
//如m=7,n=5时此处k的范围是0到24,那么25/7=3,3*7=21。
//因为21、22、23、24都需要重新计算,所以后面返回值k/((max+1)/m)+1就能保证最大值为7了,即20、19、18除3加1都等于7
//此处也可以不进行分组,直接限定k+1<=m后面返回k即可,这样得到k的概率也是一样的,只不过更不容易得到k,因为大量的k将大于m
if(max+>=m && k>=(max+)/m*m)
{
k = ;
max = ;
}
}
return k/(max+/m)+;//由上面逻辑保证了在1到m之间且各数生成概率相等
}
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