UVa 10900 (连续概率、递推) So you want to be a 2n-aire?

题意：

初始奖金为1块钱，有n个问题，连续回答对i个问题后，奖金变为2ⁱ元。

回答对每道题的概率在t~1之间均匀分布。

听到问题后有两个选择：

• 放弃回答，拿走已得到的奖金
• 回答问题：
  • 如果回答正确，奖金加倍
  • 如果回答错误，游戏结束，得不到奖金

分析：

d[i]表示答对i题后最大期望奖金，设回答对第i题的概率为p，

则回答第i题的期望奖金 = p × d[i]

考虑上不回答的情况，期望奖金最大值为max{2^i-1, p*d[i]}

因为p在t~1均匀分布，所以d[i]等于分段函数max{2^i-1, p*d[i]}在这个区间上的积分。

因为一段是常函数，一段是直线，所以积分很好求。

令p0 = max{t, 2ⁱ/d[i+1]}

• p < p0，选择不回答，奖金期望为2ⁱ
• p ≥ p0，选择回答，奖金期望为(1+p0)/2 * d[i+1]

根据全概率公式，第一种情况的概率为p1 = (p0 - t) / (1 - t)

d[i] = p1*2ⁱ + (1-p1)*(1+p0)/2 * d[i+1]

边界d[n] = 2ⁿ，答案为d[0]

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 const int maxn = ;
 double d[maxn];

 int main()
 {
     //freopen("in.txt", "r", stdin);
     int n;
     double t;
     while(scanf("%d%lf", &n, &t) ==  && n)
     {
          d[n] = ( << n);
          for(int i = n-; i >= ; --i)
          {
              double p0 = max(t, (double)(<<i)/d[i+]);
              double p1 = (p0-t)/(-t);
              d[i] = (double)(<<i)*p1 + (+p0)/ * d[i+] * (-p1);
          }
          printf("%.3f\n", d[]);
     }

     return ;
 }

代码君