Hihocder 1639 : 图书馆 （组合数+唯一分解 求最后一位）（妙）

给定n，(n<=10^3)，然后输入n的数a[i]，（a[i]<=1e10），求ans=(a1+a2+a3...an)! / (a1!*a2!*a3!...an!) 的结果的最一位数。

适用问题，n种物品，求全排种类，结果%10。

猜想1，斯特林公式，斯特林公式虽然误差越来越小，但是最后一位的误差是难以消除的，虽然求位数还稳，但是求最后一位几乎不会对。

猜想2，a[]达到一定程度，答案是0，此种情况必须保证ans的2因子和5因子数都>0，小范围唯一分解，但依然有30%数据过不去。

猜想3：唯一分解，但是素数太多，而且又得具体到每一个的逆元，难以实现。

猜想4：将ans转化为5的倍数*非5的倍数，以及2的倍数以及非2的倍数，然后剩余定理得计解。

即，将ans%10，改为%素数p，p=2时：ans2=ans%2；      p=5时：ans5=ans%5，然后中国剩余定理得到ans%10；

以5为例，算出分解后5因子的个数x：令ans5=((5^x) *y)/z%5，如果x>0，则ans5%5=0；否则得到分子的y和z。 得到ans5=(y/z)% 5。

得到x的具体实现：

以5为例，N！= (5^x)*y ，则x=N/5+N/5/5+N/5/5/5...。对于不是5的倍数的部分，以5为循环节计算。

坑点在于：5的倍数里面的数一定要算干净，所以要一层一层继续算系数，如：100=5*5*2，这个2是有用的，我就是这里没想到然后挂了。

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11...=1，2，3，4，1*5，1，2，3，4，2*5，1...  (循环节为5) = [ (24%5)^ (n/5) ]%5 * (5^x) * 1*2*3 ...（后面的123是系数）

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll a[],ans2,ans5, x[],sum;
int qpow(int n,ll m,int Mod)
{
    int res=;n%=Mod;
    while(m){
        if(m&) res=n*res%Mod;
        n=n*n%Mod;
        m>>=;
    } return res;
}
void get(int opt,ll x,int sig)
{
    ll tmp=x;
    if(sig==||sig==-){
        if(tmp){
            a[opt]+=sig*(tmp/opt);
            tmp/=opt;
        }
        if(tmp){
            get(opt,tmp,*sig);    //5的倍数的系数不要搞忘
            get(opt,tmp,*sig);
        }
    }
    else{
        tmp=;
        for(int i=;i<opt;i++){
            tmp=tmp*i%opt;
        }
        tmp=qpow(tmp,x/opt,opt);
        for(ll i=(x/opt)*opt+;i<=x;i++)  tmp=tmp*(i%opt)%opt;
        if(opt==&&sig==)  a[]=a[]*tmp%opt;
        if(opt==&&sig==)  a[]=a[]*tmp%opt;
        if(opt==&&sig==-) a[]=a[]*tmp%opt;
        if(opt==&&sig==-) a[]=a[]*tmp%opt;
    }
}
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        sum=; ans2=ans5=;
        a[]=a[]=; a[]=a[]=a[]=a[]=;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&x[i]);
            sum+=x[i];
        }
        get(,sum,);    //正数表示在分子
        get(,sum,);
        get(,sum,);   //1表示2或5的幂，可以加。
        get(,sum,);   //1表示非2或5的幂。
        for(int i=;i<=n;i++){
            get(,x[i],-); //负数表示在分母
            get(,x[i],-);
            get(,x[i],-);
            get(,x[i],-);
        }
        if(a[]>&&a[]>){ //下面的可以不算，但是算也花不了多少时间。
            printf("0\n");
            continue;
        }

        ans2=qpow(,a[],);
        ans2=ans2*a[]%;
        ans2=ans2*qpow(a[],,)%;

        ans5=qpow(,a[],);
        ans5=ans5*a[]%;
        ans5=ans5*qpow(a[],,)%;

        printf("%lld\n",(*ans2+*ans5)%); //5和16都是逆元算的
    } return ;
}