多源最短路径Floyd算法

多源最短路径是求图中任意两点间的最短路，采用动态规划算法，也称为Floyd算法。将顶点编号为0,1,2...n-1首先定义dis[i][j][k]为顶点 i 到 j 的最短路径，且这条路径只经过最大编号不超过k的顶点。于是我们最终要求的是dis[i][j][n-1].状态转移方程如下：

dis[i][j][k]=min{dis[i][j][k-1],dis[i][k][k-1]+dis[k][j][k-1]};

状态转移方程的解释：在计算dis[i][j][k]的时候，我们考虑 i 到 j 是否要经过顶点 k ，若不经过顶点 k ,那么结果就是 i 到 j 的最大路径经过的最大顶点不超过 k-1，也就是dis[i][j][k-1].倘若 i 到 j 经过顶点 k，那么i到j可以分为两部分之和，即 i 到k 和 k 到 j.这时候子问题最优解是 dis[i][k][k-1]和dis[k][j][k-1],这种情况下得到的原问题最优解是dis[i][k][k-1]+dis[k][j][k-1].所以综合起来：  dis[i][j][k]=min{dis[i][j][k-1],dis[i][k][k-1]+dis[k][j][k-1]};

在实现的时候没有必要使用三维数组。可以采用覆盖的方法：从k=0 to n-1 来计算，状态方程改变如下：

dis[i][j]=min{dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]};

 #include<iostream>
 using namespace std;
 #define MAX_NUMBER INT_MAX/2
 #define MAX_SIZE 100
 struct Graph {
     int V, E;
     int R[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
 };
 int path[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
 int dis[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
 void Floyd(Graph G);
 void PrintPath(int i, int j);
 int main() {
     Graph G;
     int i, j, w,k;
     cin >> G.V >> G.E;
     for (i = ; i < G.V; i++)
         for (j = ; j < G.V; j++) {
             G.R[i][j] = (i == j ?  : MAX_NUMBER);
             path[i][j]=i;    //假设i到j有直接路径
         }
     //--------------------------------初始化
     for (k = ; k < G.E; k++) {
         cin >> i >> j >> w;
         G.R[i][j] = G.R[j][i] = w;
     }
     Floyd(G);
     for (i = ; i < G.V; i++) {
         for (j = ; j < G.V; j++)
             printf("%3d", dis[i][j]);
         cout << endl;
     }
     printf("\n");
     for (i = ; i < G.V; i++) {
         for (j = ; j < G.V; j++)
             printf("%3d", path[i][j]);
         cout << endl;
     }
     PrintPath(,);
     return ;
 }
 void Floyd(Graph G) {
     int i, j, k;
     for (i = ; i < G.V; i++)
         for (j = ; j < G.V; j++)
             dis[i][j] = G.R[i][j];         //初始化
     for (k = ; k < G.V; k++)
         for (i = ; i < G.V; i++)
             for (j = ; j < G.V;j++)
                 if (dis[i][j]>dis[i][k] + dis[k][j]) {        //更新
                     path[i][j] = k;
                     dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                 }
 }
 void PrintPath(int i, int j) {
     if (i==j) {
         printf("%3d", i);
         return;
     }
     PrintPath(i,path[i][j]);
     printf("%3d", j);
 }