BZOJ4033 [HAOI2015]树上染色【树形dp】

题目

有一棵点数为N的树，树边有边权。给你一个在0~N之内的正整数K，你要在这棵树中选择K个点，将其染成黑色，并

将其他的N-K个点染成白色。将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间距离的和的收益。

问收益最大值是多少。

输入格式

第一行两个整数N,K。

接下来N-1行每行三个正整数fr,to,dis，表示该树中存在一条长度为dis的边(fr,to)。

输入保证所有点之间是联通的。

N<=2000,0<=K<=N

输出格式

输出一个正整数，表示收益的最大值。

输入样例

5 2

1 2 3

1 5 1

2 3 1

2 4 2

输出样例

提示

【样例解释】

将点1,2染黑就能获得最大收益。

题解

我dp真是太弱了

很自然地可以想到设一个dp状态$f[i][j]$，表示$i$为根的子树中选$j$个黑点的最大收益

这个时候会不会有些奇怪？这个收益具体指什么？

由题目可知，我们得到的收益必须是成对点贡献出来的，每个区域不能作为独立的个体产生贡献

我们考虑把点与点间的贡献转移到边上

对于一条边$(u,v)$，我们记$u$一侧的黑点数为$b_u$，白点数为$w_u$，$v$一侧类似

那么该边的贡献就为

\[w_{(u,v)} * (b_u * b_v + w_u * w_v)
\]

那么我们改变一下：$f[i][j]$表示$i$为根的子树中选$j$个黑点，此时子树中的边产生的最大贡献

那么就很好转移了

对于节点$i$，其子树的贡献已经算出，我们只需要考虑其到子树的边的贡献即可

我们枚举其儿子$t$，并枚举儿子选的黑点数，再枚举剩余的子树的黑点数计入贡献

乍一看似乎$O(n^3)$

仔细分析一下，我们枚举的是子树的大小，每个子树产生的复杂度为$O(siz[t] * (siz[u] - siz[t]))$，就相当于该子树的点与剩余子树的点形成的点对的个数

也就是说，我们实质在枚举点对，而且容易发现，每对点对只会在其$lca$处被枚举

所以可以保证是$O(n^2)$的

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");

using namespace std;

const int maxn = 2005,maxm = 10005,INF = 1000000000;

inline LL read(){

	LL out = 0,flag = 1; char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}

	return out * flag;

}

int h[maxn],ne = 2;

struct EDGE{int to,nxt; LL w;}ed[maxm];

inline void build(int u,int v,LL w){

	ed[ne] = (EDGE){v,h[u],w}; h[u] = ne++;

	ed[ne] = (EDGE){u,h[v],w}; h[v] = ne++;

}

LL f[maxn][maxn],t[maxn];

int siz[maxn],fa[maxn],n,K;

inline void cmax(LL& a,LL b){if (a < b) a = b;}

void dfs(int u){

	siz[u] = 1;

	for (int i = 2; i <= n + 1; i++) f[u][i] = -INF;

	Redge(u) if ((to = ed[k].to) != fa[u]){

		fa[to] = u;

		dfs(to);

		for (int i = 0; i <= siz[u] + siz[to]; i++) t[i] = -INF;

		for (int i = 0; i <= siz[u]; i++)

			for (int j = 0; j <= siz[to]; j++)

				cmax(t[i + j],f[u][i] + f[to][j] + ed[k].w * (j * (K - j) + (siz[to]  - j) * (n - K - (siz[to] - j))));

		siz[u] += siz[to];

		for (int i = 0; i <= siz[u]; i++)

			f[u][i] = t[i];

	}

}

int main(){

	n = read(); K = read();

	int a,b; LL w;

	for (int i = 1; i < n; i++){

		a = read(); b = read(); w = read();

		build(a,b,w);

	}

	dfs(1);

	printf("%lld\n",f[1][K]);

	return 0;

}