【Luogu】P3343地震后的幻想乡(对积分概率进行DP)
神难qwq。配合rqy的博客食用。
首先我们学到有一个概率函数$p(x)$表示某事件发生概率取值小于x的函数。这个函数有什么特点呢?
那就是$\int_{-∞}^{∞}p(x)dx=1$
这个是显然的
然后我们令p(x)为首次联通的时间的概率分布函数
这其实等价于生成树的最大权边等于x的概率,对不对(我虚啊,我很可能理解错的)
然后呢,就有一个期望的式子
$EX=\int tp(t)dt$
我忘了是为什么了(上午rqy才刚给我讲过,现在就忘了),我太菜了。
然后本题中,期望就是$EX=\int_{0}^{1}xp(x)dx$
$=\int_{0}^{1}p(x)( \int_{0}^{x}1ds)dx$
$=\int_{0}^{1}(\int_{s}^{1}p(x)dx)ds$
然后我们把括号里面那个玩意设成P(s)好了
所以原式被我们化成了$\int_{0}^{1}P(s)ds$
然后……emm等一会我忘了我要干嘛了qwq
……
然后我们设一个$f_{x,S}$表示集合S(S包含1节点)在x时刻前不连通,x时刻恰好联通的概率
因为在x时刻不连通,所以我们考虑它的转移
$f_{x,S}=\sum\limits_{1属于S'}^{S'包含于S}(1-f_{x,S'})(1-x)^{T(S',S-S')}$
这什么意思呢?
我们设T(A,B)为A点集和B点集之间的边数。
首先我们看见里面有一个$(1-f_{x,S'})$,这个玩意的意思是
既然我们的S集合要恰好联通,那在这之前S'作为S的一个子集是一定要联通的。而f表示的是不连通的概率,所以就是1-x呗。
而且S'和外界不要联通。
既然S和外界不要联通,那每条边在x时刻不连通的概率是(1-x),那T条边都不连通的概率就是$(1-x)^{T(S',S-S')}$
所以说$f_{x,S'}$就是这么一个玩意儿。
然后我们把x当成参,就有了$f_{S'}(x)$这么一个东西。
然后……比如说有个全集U
最后我们求的就是这么一个玩意
$\int_{0}^{1}f_{U}(x)dx$
然后下面的我就全忘了,顺着rqy的笔迹讲,不过我自己也看不懂是在干嘛qwq
我们设$dp_{S,k}=\int_{0}^{1}f_{S}(x)(1-x)^{k}dx$
$=\int_{0}^{1}(\sum\limits_{1属于S'}^{S'包含于S}(1-f_{S'}(x))(1-x)^{T(S',S-S')})(1-x)^{k}dx$
设t=T(S',S-S')
$dp_{S,k}=\sum\limits_{1属于S'}^{S'包含于S}\int_{0}^{1}(1-f_{S'}(x))(1-x)^{t+k}dx$
$=\sum\limits_{1属于S'}^{S'包含于S}\int_{0}^{1}(1-x)^{t+k}-f_{S'}(x)(1-x)^{t+k}dx$
我们发现后面那个玩意等于$dp_{S',t+k}$
就可以搞啦。至于k到底干嘛的,rqy说不表示实际意义,只是用来简化计算,我没听懂。qwq
最后求的答案就是$dp_{U,0}$
然后就是递归搞一搞DP输出。
(当然到考场上如果碰到这道题我倾向于手玩。智商-INFqwq。)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define maxn 11
#define maxm 55
inline long long read(){
long long num=,f=;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-') f=-;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)){
num=num*+ch-'';
ch=getchar();
}
return num*f;
} double f[<<maxn][maxm];
int q[<<maxn][<<maxn];
bool vis[<<maxn][maxm]; double dfs(int state,int t){
if(state==) return ;
if(vis[state][t]) return f[state][t];
vis[state][t]=;
double &ans=(f[state][t]=.);
for(int sta=(state-)&state;sta!=state;sta=(sta-)&state)
if(sta&){
ans+=1.0/(t+q[sta][state&(~sta)]+);
ans-=dfs(sta,t+q[sta][state&(~sta)]);
}
return ans;
} int main(){
int n=read(),m=read();
int Max=<<n;
for(int i=;i<=m;++i){
int a=read(),b=read();
a--;b--;
for(int sta=;sta<Max;++sta){
if(((sta>>a)&)==) continue;
for(int stb=;stb<Max;++stb){
if(((stb>>b)&)==) continue;
q[sta][stb]++; q[stb][sta]++;
}
}
}
printf("%.6lf",dfs(Max-,));
return ;
}
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