CF724G Xor-matic Number of the Graph(线性基+组合数)
题目描述
给你一个无向图,有n个顶点和m条边,每条边上都有一个非负权值。
我们称一个三元组(u,v,s)是有趣的,当且仅当对于u,v,有一条从u到v的路径(可以经过相同的点和边多次),其路径上的权值异或和为 s 。对于一条路径,如果一条边经过了多次,则计算异或和时也应计算多次。不难证明,这样的三元组是有限的。
计算所有有趣的三元组中s的和对于1e9+7的模数
题解
不知道线性基是什么东西的可以看看蒟蒻的总结
线性基神仙题
首先异或和肯定得用线性基
然后路径肯定得找出所有环
那么先dfs一遍,找出到每个点的任意一条路径,然后把所有的环都给扔进线性基里面,
考虑接下来怎么做
经过深(kan)思(le)熟(ti)虑(jie),我们发现每一个连通块里的所有点都要两两统计答案,那么我们要根据xor采取一个方法:二进制逐位统计
假设从大到小考虑第$k$位,此时所有点可以分为两类,第$k$位为0或第$k$位为1
先考虑两个点全0或全1的情况,这种情况下两个点异或起来第$k$位为0,对答案没有贡献,那么只有在线性基里存在第$k$位为1的数,异或上这两个点才能使其对答案有贡献
那么这个基必须选,然后剩下的基有$2^{cnt-1}$种选法($cnt$为线性基里的元素个数),这一位对答案的贡献就是$2^{cnt-1}*2^{k}$
然后不同为0或1的情况同理,这个基必须不能选,剩下的基的选法如上
ps:我上面两个基必须选或不选只是打个比方,真正的意思是把这一个基拿出来,那么如果剩下的异或出来第$k$位是否为0,都能通过异或上这一个数使其第$k$位变为1(如果已经是1就不用异或了),所以剩下的数怎么组合都没有关系,方案数肯定是那么多
然后剩下的……看代码好了
//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read(){
#define num ch-'0'
char ch;bool flag=;ll res;
while((ch=getc())>''||ch<'')
(ch=='-')&&(flag=true);
for(res=num;(ch=getc())<=''&&ch>='';res=res*+num);
(flag)&&(res=-res);
#undef num
return res;
}
const int N=4e5+,mod=1e9+;
ll ans;
int n,m,top,cnt,cir,u,v;ll e;
int head[N],q[N],ver[N<<],Next[N<<],tot;ll edge[N<<];
ll b[],bin[],circle[N],dis[N],dig[];
inline void add(int u,int v,ll e){
ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
}
void dfs(int u,int fa,ll d){
dis[u]=d,q[++top]=u;
for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
int v=ver[i];
if(v!=fa){
if(dis[v]==-) dfs(v,u,dis[u]^edge[i]);
else circle[++cir]=dis[u]^dis[v]^edge[i];
}
}
}
inline void insert(ll x){
for(int i=;i>=;--i)
if(x>>i&){
if(!b[i]) return (void)(b[i]=x,++cnt);
x^=b[i];
}
}
void init(){
memset(b,,sizeof(b)),cnt=;
for(int i=;i<=cir;++i) insert(circle[i]);
}
void calc(){
init();
for(int j=;j<=;++j){
bool flag=;dig[]=dig[]=;
for(int i=;i<=top;++i) dig[dis[q[i]]>>j&]++;
for(int i=;i<=;++i)
if(b[i]>>j&){flag=;break;}
ll res;
if(flag){
res=(dig[]*(dig[]-)/+dig[]*(dig[]-)/)%mod;
if(cnt) (res*=bin[cnt-])%=mod;
(res*=bin[j])%=mod;
(ans+=res)%=mod;
}
res=dig[]*dig[]%mod;
if(flag){if(cnt) (res*=bin[cnt-])%=mod;}
else (res*=bin[cnt])%=mod;
(res*=bin[j])%=mod;
(ans+=res)%=mod;
}
}
int main(){
// freopen("testdata.in","r",stdin);
memset(dis,-,sizeof(dis));
bin[]=;for(int i=;i<=;++i) bin[i]=(bin[i-]<<)%mod;
n=read(),m=read();
for(int i=;i<=m;++i){
u=read(),v=read(),e=read();
add(u,v,e),add(v,u,e);
}
for(int i=;i<=n;++i)
if(dis[i]==-)
top=cir=,dfs(i,,),calc();
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
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