Bolzano-Weierstrass 定理

这个定理是从吴崇试老师的数学物理方法课里看到的，表述如下：

有界的无穷（复数）序列至少有一个聚点。

序列的聚点定义为

给定序列 $\{z_n\}$，若存在复数 $z$，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$ 恒有无穷多个 $z_n$ 满足 $| z- z_n| < \varepsilon$，则称 $z$ 为 $\{z_n\}$ 的一个聚点。

$\{z_n\}$ 有聚点等价于 $\{z_n\}$ 有收敛子列。我们试图构造出 $\{z_n\}$ 的一个收敛子列。

先证明有界实数列满足 B-W 定理，即

有界实数列必有收敛子列。

证明：设序列 $\{a_n\}$ 都落在 $[a,b]$ 中，将 $[a,b]$ 等分成 $[a, (a+b)/2]$ 和 $[(a+b)/2, b]$，其中必有一个区间含有无穷多项 $a_n$，记此区间为 $I_1$，在 $I_1$ 中选择一项 $a_{i_1}$；再将 $I_1$ 等分成两份，取其中含有无穷多项 $a_n$ 者记做 $I_2$，在 $I_2$ 中选取一项 $a_{i_2}$ 使得 $i_2 > i_1$，如此进行下去。令 $I_n = [ l_n, r_n]$ ，则 $\{l_n\}$ 递增有界，$\{r_n\}$ 递减有界，即二者都收敛；令 $l = \lim_{n\to\infty} l_n$，$r = \lim_{n\to\infty} r_n$；又 $\lim_{n\to\infty} r_n - l_n = \lim_{n\to\infty} (b-a)/2^n = 0 $，因而 $x = y$。又 $a_{i_n} \in [l_n, r_n]$ ，由夹逼原理有 $\lim_{n\to\infty} a_{i_n} = x$，于是 $\{a_{i_n}\}$ 收敛。证毕。

再证明欧氏空间 $\mathbb{R}^p$ 中的序列满足 B-W 定理，即

$\mathbb{R}^p$ 中的有界序列必有收敛子列。

证明：对 $p$ 用归纳法。我们已经证明了 $p=1$ 时 B-W 定理成立。设 $p= k$ 时定理成立，给定 $\mathbb{R}^{k+1}$ 中的有界序列 $\{\mathbf{a}_n\}$，令 $\mathbf{a}_n=(\mathbf{x}_n, y_n)$，可以证明 $\{\mathbf{x}_n\}$ 在 $\mathbb{R}^k$ 中有界，$\{y_n\}$ 在 $\mathbb{R}$ 中有界。
取 $\{\mathbf{x}_n\}$ 的一个收敛子列 $\{\mathbf{x}_{n_i}\}$，记其极限为 $\mathbf{x}$，再取 $\{y_{n_i}\}$ 的一个收敛子列 $\{y_{n_{i_j}}\}$，记其极限为 $y$，我们有 $\{ \mathbf{x}_{n_{i_j}} \}$ 收敛于 $\mathbf{x}$，于是 $\{\mathbf{a}_{n_{i_j}}\}$ 收敛于 $(\mathbf{x},y)$ 。证毕。

$\mathbb{R}^2$ 与 $\mathbb{C}$ 同构，所以原命题成立。