HDU 4565 So Easy! 数学 + 矩阵 + 整体思路化简
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565
首先知道里面那个东西,是肯定有小数的,就是说小数部分是约不走的,(因为b限定了不是一个完全平方数)。
因为(a - 1)^2 < b < (a ^ 2),所以其不是完全平方数,假如是,那么设其为c,则有a - 1 < c < a,这是矛盾的
所以,向上取整这个步骤,是必不可少的了。
那么,我在它后面加上一个< 1的数,同时使得它们结合成为整数,那就相当于帮它取整了。根据二项式定理
(a + sqrt(b)) ^ n + (a - sqrt(b)) ^ n,其中的奇数次幂,都抵消了。所以这个是一个整数,而且(a - sqrt(b)) ^ n也是小于1的。刚好符合我们的要求。
所以Sn = (a + sqrt(b)) ^ n + (a - sqrt(b)) ^ n
现在就是要找Sn和S(n +1)的关系那些。
化简的时候,整体化简,
设
x = a + sqrt(b)
y = a - sqrt(b)
x + y = 2 * a
x * y = a * a - b
那么Sn = x^n + y^n = (x + y) * (x^(n - 1) + y^(n - 1)) - (x * y) * (x ^ (n - 2) + y ^ (n - 2))
就是Sn = (x + y) * S(n - 1) - (x * y) * (S(n - 2))
然后矩阵快速幂
过程中要不断取模,防止中途溢出。
跪了。这题真的跪了。
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL; #include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <bitset>
LL a, b, n, m;
const int maxn = ;
struct Matrix {
LL a[maxn][maxn];
int row;
int col;
};
struct Matrix matrix_mul (struct Matrix a, struct Matrix b, int MOD) { //求解矩阵a*b%MOD
struct Matrix c = {}; //这个要多次用到,栈分配问题,maxn不能开太大,
//LL的时候更加是,空间是maxn*maxn的,这样时间用得很多,4和5相差300ms
c.row = a.row; //行等于第一个矩阵的行
c.col = b.col; //列等于第二个矩阵的列
for (int i = ; i <= a.row; i++) { //枚举第一个矩阵的行
for (int j = ; j <= b.col; j++) { //枚举第二个矩阵的列,其实和上面数值一样
for (int k = ; k <= b.row; k++) { //b中的一列中,有“行”个元素 notice
c.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
c.a[i][j] %= MOD;
}
c.a[i][j] = (c.a[i][j] + MOD) % MOD; //如果怕出现了负数取模的话。可以这样做
}
}
return c;
}
struct Matrix quick_matrix_pow(struct Matrix ans, struct Matrix base, int n, int MOD) {
//求解a*b^n%MOD
while (n) {
if (n & ) {
ans = matrix_mul(ans, base, MOD);//传数组不能乱传,不满足交换律
}
n >>= ;
base = matrix_mul(base, base, MOD);
}
return ans;
} void work() {
if (n == ) {
cout << * a % m << endl;
return;
}
if (n == ) {
cout << ( * a * a + * b) % m << endl;
return;
}
Matrix ma_a = {};
ma_a.row = , ma_a.col = ;
ma_a.a[][] = * a * a + * b, ma_a.a[][] = * a; Matrix ma_b = {};
ma_b.row = , ma_b.col = ;
ma_b.a[][] = * a, ma_b.a[][] = ;
ma_b.a[][] = -(a * a - b), ma_b.a[][] = ; Matrix ans = quick_matrix_pow(ma_a, ma_b, n - , m);
cout << ans.a[][] << endl;
}
int main() {
#ifdef local
freopen("data.txt", "r", stdin);
// freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
IOS;
while (cin >> a >> b >> n >> m) work();
return ;
}
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