Codeforces 660E Different Subsets For All Tuples【组合数学】

看了官方题解+q神的讲解才懂。。。

智商问题。。

讲道理。。数学真的比脱单难啊。。。

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题目链接：

http://codeforces.com/problemset/problem/660/E

题意：

给定数字范围，问由这些数字组成的长度为n的串的子序列有多少种？

分析：

方法一：

枚举长度k，计算以其为子序列的原串种数。

k=0时，ans=mn

k≥1时，设序列元素为x1,x2,x3...xk，为了避免重复，我们假设当前位置是第一次出现xi，即要求x1之前的元素不会出现x1，x1和x2之间的元素不会出现x2，依次类推，每个间隔中的每个元素都为m−1种。

最后枚举xk结束的位置，即xk后面的元素个数j，这些元素每个有m种可能。由于我们枚举了xk的位置，那么前k−1个元素的位置就有(n−j−1k−1)种。

这样对于每个k，我们可以得到公式：

∑j=0n−kmkmj(m−1)n−j−k(n−j−1k−1)

令s=n−j，则有

∑k=1n∑s=knmkmn−s(m−1)s−k(s−1k−1)

（交换求和）=∑s=1n∑k=1smkmn−s(m−1)s−k(s−1k−1)

后一项求和利用二项式定理进行化简，最终得到

=∑s=1nmn−s+1∗(2m−1)s−1

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int quick_pow(int a, int b)
{
    int ans = 1;
    for(;b;b >>= 1, a = a * 1ll * a % mod){
        if(b & 1) ans = ans * 1ll * a % mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n, m;cin>>n>>m;
    int ans = quick_pow(m, n);
    for(int s = 1; s <= n; s ++)
        ans = (ans + quick_pow(m, n - s+ 1) * 1ll * quick_pow( 2 * m - 1, s - 1)) % mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

然后可以发现这个就是个等比数列。

最后不要忘记加上空串的mn。

#include <iostream>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int quick_pow(int a, int b)
{
    int ans = 1;
    for(;b;b >>= 1, a = a * 1ll * a % mod){
        if(b & 1) ans = ans * 1ll * a % mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n, m;cin>>n>>m;
    int ans ;
    if(m == 1) ans = n + 1;
    else
    ans = (quick_pow(m, n) + m * 1ll * (quick_pow(2 * m - 1, n) - quick_pow(m, n)) % mod * quick_pow(m - 1, mod - 2) % mod) % mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

方法二：

还有一种卿学姐的dp方法。。