不动点（Fixed Point）

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在数学中，函数的不动点（Fixed point, or shortened to fixpoint, also knowns as invariant point），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身。

也就是说如果 c 是函数 f(c) 的不动点，则有：

由上面很容易进行递归推导：

满足这样经过有限次迭代后仍然返回相同值得点，被称为周期不动点（period points），且周期为1。

如果函数不止一个不动点，则将这些不动点组成的集合成为不动点集（fixed set），从图像上来看，不动点就是函数f(x)曲线与直线y=x的交点。图 1 显示了一个有3个不动点的函数曲线。

图 1 一个具有3个不动点的函数

当然，并不是所有的函数都有不动点，比如函数f(x)=x+1，就不存在，因为x=x+1在实数范围内并不成立。

此外，还有一种特别的不动点：吸性不动点（attractive fixed points），指的是，对于一个函数的不动点x0，在其邻域内，比较接近x0的点，在下面的迭代函数序列：

收敛于x0，详见 Banach fixed-point theorem。

以 cos 函数为例，令x1 = -1，进行迭代计算：

经过迭代后，如图 2 收敛于 cos 函数的不动点（约为0.739085133）处。

图 2 cos 函数迭代收敛至其不动点处

在 cos 函数这种情形下，初始值为任意值都可以，并没要求足够接近（close enough）不动点。有些情形下不动点并不具备吸性不动点的特性，例如 x=0 是 f(x)=2x的不动点，单是对于非0的任一点经过上述的迭代序列后，并不会收敛到0。如果一个连续可微的函数，在不动点x0开区间邻域内函数一阶导师绝对值小于1，那么也能保证不定点x0具有吸性不动点的特性。

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Reference:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_point_(mathematics)