在组合数学,Stirling数可指两类数,第一类Stirling数和第二类Stirling数。

stirling常应用于许多组合枚举问题中。

第一类stirling数:

对第一类Stirling数

  ,也可记为 
s(n,m)的一个的组合学解释是:而个人分成m组做环排列的方法数目。

递推式:

$$\begin{align*}s(n+1,2)&=s(n,1)+s(n,2)\cdot n\\&=(n-1)!+n(n-1)!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=(n-1)!+n!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=\frac{n!}{n}+n!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=n!\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{i}\\ \end{align*}$$

s(p,k)的递推公式: $s(p,k)=(p-1) \times s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1$

边界条件:s(p,0)=0 ,p>=1  s(p,p)=1  ,p>=0

性质:

 

 

 

 

 

 

 

第二类stirling数:

  ,同时可记为 
将p个物体划分成k个非空的不可辨别的(可以理解为盒子没有编号而物品有编号)集合的方法数。
 
第二类Stirling数要求盒子是无区别的,所以可以得到其方案数公式:

递推式:

$$\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix}*k$$

S(p,k)的递推公式是:$S(p,k)=k \times S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1$$

边界条件:S(p,p)=1 ,p>=0    S(p,0)=0 ,p>=1

通项递推式:

$S(n,m)=\frac{1}{m!} \sum _{k=0}^m (-1)^kC_m^k(m-k)^n$

性质:

  • $s(0,0)=1$;
  • $S(n,0)=0,n>0$
  • $S(n,n)=1$
  • $S(n,2)=S(n-1,1)+S(n-1,2)*2=1+S(n-1,2)*2=2^{n-1}-1$
  • $S(n,n-1)=C_n^2$
  • $S(n,n-2)=C_n^3+3C_n^4$

简单巧妙的证明:我们分成两种情况,把n个不同的元素分成n?2个集合有两种情况,分别是有一个集合有三个元素和有两个集合有两个元素。对于前者,我们选出三个元素为一个集合,

其他的各成一个集合,这种情况的方案数就是C(n,3)。对于后者,先选出四个元素来,考虑怎么分配。当其中一个元素选定另一个元素形成同一个集合时,这种情况就确定了,

所以是$3 \times C(n,4)$。加法原理计算和即得证。

  • $S(n,3)=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}$

  • $S(n,n-3)=C_n^4+10C_n^5+15C_n^6$

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