【洛谷3648/BZOJ3675】[APIO2014]序列分割（斜率优化DP）

题目：

洛谷3648

注：这道题洛谷3648有SPJ，要求输出方案。BZOJ3675数据组数较多但不要求输出方案。

分析：

这可能是我第三次重学斜率优化了……好菜啊

这道题首先一看就是个DP。稍微推一推类似下面这种式子就会发现事实上结果和切的顺序无关

\[a(b+c)+bc=ab+c(a+b)=ab+ac+bc
\]

那么就可以用\(f[i][j]\)表示切了\(j\)次，最右一次在\(i\)后面切的最大值。用\(sum[i]\)表示原序列前\(i\)个数之和，那么就有了这个DP方程（假设在\(i\)后面是第一次切割）：

\[f[i][j]=max(f[k][j-1]+sum[k]\times (sum[i]-sum[k]))(0<k<i)
\]

其中\(j\)这一维可以滚动存储。转移的时候顺便记一下从什么地方转移过来就行。这个时间复杂度是\(O(n^2k)\)。丢一部分代码。

int work()
{
	read(n), read(k);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		read(sum[i]), sum[i] += sum[i - 1];
	for (int i = 2; i <= k; i++)
		for (int j = n; j > 0; j--)
			for (int g = 1; g < j; g++)
			{
				if (dp[j] < dp[g] + sum[g] * (sum[j] - sum[g]))
				{
					dp[j] = dp[g] + sum[g] * (sum[j] - sum[g]);
					pre[i][j] = g;
				}
			}
	int st = 0;
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (ans < dp[i] + sum[i] * (sum[n] - sum[i]))
		{
			ans = dp[i] + sum[i] * (sum[n] - sum[i]);
			st = i;
		}
	write(ans), putchar('\n'), write(st);
	for (int i = k; i > 1; i--)
		putchar(' '), write(st = pre[i][st]);
	return 0;
}

实测洛谷上有\(64\)分。64分够了，本文结束。

考虑斜率优化。以下的讨论均为在\(j\)（切的次数）固定的情况下，为方便说明，用\(f[i]\)表示\(f[i][j]\)，\(g[i]\)表示\(f[i][j-1]\)。再来看这个式子。

\[f[i]=max(g[j]+sum[j]\times (sum[i]-sum[j]))(0<j<i)
\]

考虑对于\(g[j]\)和\(g[k](j<k<i)\)，如果从\(g[j]\)转移到\(f[i]\)比从\(g[k]\)转移更优，那么一定满足：

\[g[j]+sum[j]\times (sum[i]-sum[j])>g[k]+sum[k]\times (sum[i]-sum[k])
\]

进行一些变换，得到：

\[g[j]-sum[j]^2>g[k]-sum[k]^2+sum[i]\times (-sum[j]+sum[k])
\]

由于前缀和单调不降，\((-sum[j]+sum[k])\)是非负的，除到右边得到（暂时不考虑为\(-sum[j]+sum[k]=0\)的特殊情况）：

\[\frac{(g[j]-sum[j]^2)-(g[k]-sum[k]^2)}{-sum[j]+sum[k]}>sum[i]
\]

可以看出左侧的式子很“工整”。把\(g[j]-sum[j]^2\)看作点\(j\)的纵坐标，\(-sum[j]\)看作点\(j\)的横坐标，则左侧就是\(j\)和\(k\)两点之间的斜率。对于横坐标相等的两点，斜率根据纵坐标的符号视作正无穷或负无穷。

接下来阅读前，请时刻牢记：对于\(j<k<i\)，如果\(j\)和\(k\)之间的斜率大于\(sum[i]\)，则\(j\)比\(k\)优

同时还有这句话的反面：对于\(j<k<i\)，如果\(j\)和\(k\)之间的斜率不大于\(sum[i]\)，则\(j\)比\(k\)劣

由于\(sum[i]\)是单调不降的，所以满足决策单调性，即：如果对于\(f[i]\)，从\(g[k]\)转移比从\(g[j]\)优\((j<k)\)，则对于\(f[i'](i<i'\leq n)\)，\(g[j]\)不可能是最优的（显然，\(j\)和\(k\)间的斜率是不受\(i\)影响的，而如果此时斜率已经小于等于\(sum[i]\)了，则以后也不可能大于\(sum[i]\)，所以\(j\)以后永远不可能比\(k\)优） 。

那么可以维护一个斜率递增的单调队列。如果感到这部分难以理解，请再反复看上面三句加粗的话。当决策\(f[i]\)时，弹出单调队列首的若干元素，直到只剩一个元素或前两个元素的斜率大于\(sum[i]\)。当尝试插入\(i\)点时，弹出队尾的若干元素，直到只剩一个元素或队尾与\(i\)的斜率比队尾后两个元素大。在几何意义上，这是一个下凸包。读者可以画图理解。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstring>
using namespace std;
namespace zyt
{
	template<typename T>
	inline void read(T &x)
	{
		bool f = false;
		char c;
		x = 0;
		do
			c = getchar();
		while (c != '-' && !isdigit(c));
		if (c == '-')
			f = true, c = getchar();
		do
			x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
		while (isdigit(c));
		if (f)
			x = -x;
	}
	template<typename T>
	inline void write(T x)
	{
		static char buf[20];
		char *pos = buf;
		if (x < 0)
			putchar('-'), x = -x;
		do
			*pos++ = x % 10 + '0';
		while (x /= 10);
		while (pos > buf)
			putchar(*--pos);
	}
	typedef long long ll;
	typedef long double ld;
	const int N = 1e5 + 10, K = 210;
	const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
	int n, k, now;
	ll sum[N], dp[2][N];
	int pre[K][N];
	inline ll sq(const ll x)
	{
		return x * x;
	}
	inline ll y(const int i)
	{
		return dp[now ^ 1][i] - sq(sum[i]);
	}
	inline ll x(const int i)
	{
		return -sum[i];
	}
	inline ld ratio(const int i, const int j)
	{
		if (x(i) == x(j))
			return (y(i) - y(j) > 0) ? LINF : -LINF;
		else
			return (ld)(y(i) - y(j)) / (x(i) - x(j));
	}
	int work()
	{
		static int q[N];
		read(n), read(k);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			read(sum[i]), sum[i] += sum[i - 1];
		for (int i = 2; i <= k; i++)
		{
			now = i & 1;
			int h = 0, t = 1;
			q[0] = 0;
			for (int j = 1; j <= n; j++)
			{
				while (h + 1 < t && ratio(q[h], q[h + 1]) <= sum[j])
					++h;
				dp[now][j] = dp[now ^ 1][q[h]] + sum[q[h]] * (sum[j] - sum[q[h]]);
				pre[i][j] = q[h];
				while (h + 1 < t && ratio(q[t - 2], q[t - 1]) >= ratio(q[t - 1], j))
					--t;
				q[t++] = j;
			}
		}
		int st = 0;
		ll ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (ans < dp[now][i] + sum[i] * (sum[n] - sum[i]))
			{
				ans = dp[now][i] + sum[i] * (sum[n] - sum[i]);
				st = i;
			}
		write(ans), putchar('\n'), write(st);
		for (int i = k; i > 1; i--)
			putchar(' '), write(st = pre[i][st]);
		return 0;
	}
}
int main()
{
	return zyt::work();
}