题解报告:hdu 1576 A/B(exgcd、乘法逆元+整数快速幂)
Problem Description
Input
Output
Sample Input
Sample Output
解题思路:这道题有三种做法,①是扩展欧几里德算法,②是试探算法,③是乘法逆元。
解法一:可以用解整数的不定方程来解决,即使用扩展欧几里德算法。
根据题意,输入的n=A%9973(没有输入A),A%B=0(A必能被B整除),B与9973互质(gcd(B,9973)=1)。
设x=(A/B)%9973(x是最终想计算的值),则9973k+x=A/B(k为整数:(A/B)/9973),得A=9973Bk+xB。
因为n=A%9973与A=9973Bk+xB,所以xB%9973=n,得xB=n+9973y。故:(x/n)B+(-y/n)9973=1=gcd(B,9973),该方程有解。要求x和y,先求X=x/n和Y=-y/n,即先解方程BX+9973Y=1。最后,x=X*n。需要注意的是,求得的x有可能是负值,需要调整为正数,即x=(x+a)%a。
顺便推导一下扩展欧几里得算法的计算过程:假设ax+by=gcd(a,b),由欧几里得算法可得gcd(a,b)=gcd(b,a%b),即ax+by=bx1+(a%b)y1=bx1+(a-a/b*b)y1=ay1+b(x1-a/b*y1),由恒等定理可得x=y1,y=x1-a/b*y1,这样我们就得到了求解x,y的方法:系数x,y基于x1,y1。终止条件:当b=0时,a为最大公约数。这时只需保证a的系数即x=1即可,y取任何值都不会由影响,因为此时b=0,所以我们不妨假设y=0,exgcd先递归到最后再回溯回来计算每个状态下的x',y',最终就可求得系数x,y的值。
AC代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)//exgcd算法
{
if(b==){x=;y=;return a;}//ecgcd的终止状态为a=gcd,b=0
int r=exGcd(b,a%b,x,y);//下一个状态:b*x1+(a%b)*y1=gcd(b,a%b),相当于欧几里得算法,先递归到b=0,然后返回每个状态下的公约数
int t=x;x=y;y=t-a/b*y;//x=y',y=x'-a/b*y'
return r;//返回当前的公约数给上一个状态
}
int main()
{
int t,n,b,x,y,a=;//a为质数
cin>>t;
while(t--){
cin>>n>>b;
exGcd(b,a,x,y);//方程:bx+ay=gcd(b,a)=1
//if(x<0)x+=a;
x=(x+a)%a;// x有可能为负,需要调整为正数
cout<<x*n%a<<endl;//A=m*B,x=m/n --> m=x*n,(A/B)%9973=(x*n*B/B)%9973=(x*n)%9973
}
return ;
}
解法二:试探法。根据题意,输入的n=A%9973(没有输入A),A%B=0(A必能被B整除),B与9973互质(gcd(B,9973)=1)。
设x=(A/B)%9973(x是最终想计算的值,满足0<=x<9973),则9973k+x=A/B(k为整数:(A/B)/9973),得A=9973Bk+xB。
因为n=A%9973与A=9973Bk+xB,所以xB%9973=n,得xB=n+9973y,亦得xB-n=9973y。故:(xB-n)%9973=0
需要注意的是,变量类型为long long。
AC代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int t;
long long n,b;//要用long long不然会溢出(n接近10的4次方,b接近10的9次方,取最大时已经超int)
cin>>t;
while(t--){
cin>>n>>b;
for(int x=;x<;x++)
if((x*b-n)%==){cout<<x<<endl;break;}//试探算法
}
return ;
}
解法三:乘法逆元。∵(A/B)%9973=A%9973*B-1%9973=n*B-1%9973,根据费马小定理a(p-1)≡1(mod p),即a*a(p-2)≡1(mod p),又由乘法逆元:ax≡1(mod p)可得x=a(p-2)%p=a-1%p(注意:p是质数,且p不能整除a(即gcd(a,p)=1),x为a关于模p的乘法逆元)∴最终可以推得n*B-1%p=n*B(p-2)%p(这里的p=9973),套一下整数快速幂模板即可。
AC代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=;
LL mod_power(LL a,LL b){//整数快速幂
LL ans=;
while(b){
if(b&)ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=;
}
return ans;
}
int main(){
int t;LL n,B;
while(cin>>t){
while(t--){
cin>>n>>B;
cout<<n*mod_power(B,mod-)%mod<<endl;//n*B^(p-2)%p
}
}
return ;
}
题解报告:hdu 1576 A/B(exgcd、乘法逆元+整数快速幂)的更多相关文章
- 【板子】gcd、exgcd、乘法逆元、快速幂、快速乘、筛素数、快速求逆元、组合数
1.gcd int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; } 2.扩展gcd )extend great common divisor ll exgcd(l ...
- 题解报告:poj 3233 Matrix Power Series(矩阵快速幂)
题目链接:http://poj.org/problem?id=3233 Description Given a n × n matrix A and a positive integer k, fin ...
- 【模拟题(电子科大MaxKU)】解题报告【树形问题】【矩阵乘法】【快速幂】【数论】
目录: 1:一道简单题[树形问题](Bzoj 1827 奶牛大集会) 2:一道更简单题[矩阵乘法][快速幂] 3:最简单题[技巧] 话说这些题目的名字也是够了.... 题目: 1.一道简单题 时间1s ...
- 2017ACM暑期多校联合训练 - Team 2 1006 HDU 6050 Funny Function (找规律 矩阵快速幂)
题目链接 Problem Description Function Fx,ysatisfies: For given integers N and M,calculate Fm,1 modulo 1e ...
- HDU 3923 Invoker(polya定理+乘法逆元(扩展欧几里德+费马小定理))
Invoker Time Limit : 2000/1000ms (Java/Other) Memory Limit : 122768/62768K (Java/Other) Total Subm ...
- HDU 5868 Different Circle Permutation Burnside引理+矩阵快速幂+逆元
题意:有N个座位,人可以选座位,但选的座位不能相邻,且旋转不同构的坐法有几种.如4个座位有3种做法.\( 1≤N≤1000000000 (10^9) \). 题解:首先考虑座位不相邻的选法问题,如果不 ...
- HDU 5793 A Boring Question (找规律 : 快速幂+逆元)
A Boring Question 题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5793 Description Input The first l ...
- hdu 2604 Queuing dp找规律 然后矩阵快速幂。坑!!
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2604 这题居然O(9 * L)的dp过不了,TLE, 更重要的是找出规律后,O(n)递推也过不了,TLE,一定 ...
- hdu 1757 A Simple Math Problem (矩阵快速幂,简单)
题目 也是和LightOJ 1096 和LightOJ 1065 差不多的简单题目. #include<stdio.h> #include<string.h> #include ...
随机推荐
- 【转】 一张图看懂开源许可协议,开源许可证GPL、BSD、MIT、Mozilla、Apache和LGPL的区别
原文:http://blog.csdn.net/testcs_dn/article/details/38496107 ----------------------------------------- ...
- webpack-Modules(模块)
模块(Modules) 在模块化编程中,开发者将程序分解成离散功能块(discrete chunks of functionality),并称之为模块. 每个模块具有比完整程序更小的接触面,使得校验. ...
- [经典面试题]在O(1)时间删除链表结点
[题目] 给定链表的头指针和一个结点指针.在O(1)时间删除该结点.链表结点的定义例如以下: struct ListNode { int value; struct ListNode* ...
- C++标准I/O库:iostream, fstream, sstringstream
在写代码的过程中.我们最常做的事就是io操作,不管是对控制台,还是文件.但一段时间不写代码就忘了,这里理一下C++标准I/O库的详细类和操作. C++的标准I/O库包含我们常常使用的iostream, ...
- ubuntu 安装后要做的事情
1. 安装chrome,软件中心就可以. 2. 安装vim 和一些插件.这里引入一大牛配置的插件集 sudo apt-get install vim-gtk wget -qO- https://raw ...
- oracle技术总结
http://www.cnblogs.com/jimeper/ http://blog.csdn.net/dragonxiangfu http://www.boobooke.com/bbs/threa ...
- HDU 1160 FatMouse's Speed(DP)
题意 输入n个老鼠的体重和速度 从里面找出最长的序列 是的重量递增时速度递减 简单的DP 令d[i]表示以第i个老鼠为所求序列最后一个时序列的长度 对与每一个老鼠i 遍历全部老鼠j 当 ...
- java里int类型转byte类型
今天在做书上的一个例子的时候, 要使用byte类型,首先我很直接的就写到了byte b = 0XAA, 结果报错, 说从int转换到byte可能会有损失. 我当时就很奇怪, 为什么会出现这种情况呢? ...
- JavaScript语言基础12
使用if语句时.假设碰到很多个条件时,就不应该继续使用if语句了,JavaScript提供了一个更高效的替代方案,那就是switch语句,我们先看看switch语句的模板: <HTML> ...
- debian webmin 安装
/******************************************************************** * debian webmin 安装 * 说明: * 在服务 ...