POJ 2991–Crane【线段树+几何】

题意：

把手臂都各自看成一个向量，则机械手的位置正好是手臂向量之和。旋转某个关节，其实就是把关节到机械手之间的手臂向量统统旋转。

由于手臂很多，要每个向量做相同的旋转操作很费时间。这时就可以想到用线段树的优势正是可以快速地成段更新。和一般的成段更新题目没什么差别，只是通常成段替换、或者成段增加。这时候要做的是，对向量成段得做旋转变换。只要利用旋转变化矩阵即可。

要注意，从第 s 节手臂开始到机械手要旋转的角度，和第 s - 1 节手臂的角度有关。因此我们还要记录每个手臂的角度，并且去Query得到它们，才能知道我们要旋转的角度。

思路：

如果我们将其中某一个线段旋转β角，那么这个线段上方的所有线段都会旋转β角，这就很类似线段树中的对区间加上一个常数的问题了，于是不妨向着线段树的思路去想。

接下来一个问题就是β角是相对于谁的，换句话说我们所谓的每个线段都会旋转β角，那么是绕谁旋转的？实际上，如果我们局限于把线段当线段看的话，那么这个旋转就会看成是绕某个定点的，这个点就是我们旋转的线段和它下面那个不动的线段的交点，再这样想下去我们就没法处理了，因为每个旋转操作所绕的定点不是唯一的，我们没办法把所有的旋转操作都统一到一起，那么我们就没办法把旋转操作叠加，这样就没法使用线段树了。

但如果换个思路的话，实际上β角还等于这个线段旋转后所在的直线和未旋转前所在的直线的夹角，而直线的夹角是可以用向量的夹角表示的，如果我们把线段看成一个向量的话那么β角就是这个向量旋转的角度。如果这么看的话，所有的旋转操作就可以统一到一起了，也可以叠加了，因为这样不会局限于绕哪个定点，只需要把向量自身旋转一下就OK。其实说到这里，我们会发现其实上一段的分析从一开始就误入歧途了，我们着眼于了“β角是相对于谁的”，因为相对的东西是不可能统一到一起的，参考系不一样结果就不一样，所以我们要想把每个线段的旋转操作统一到一起，就要去看这些旋转操作改变了哪些绝对的量，而向量就是一个绝对的量，它并不参考与其他的东西，只由这个线段自身的状态决定。

又扯远了，还是分析下怎么实现吧。前面说了，如果把线段看成向量的话，我们每次的旋转操作就可以看成是对区间上的所有点加上一个值（向量的旋转角），那么剩下的问题有两个：第一，也是最重要的，我们这样记录能不能每次方便地求出终点的位置？第二，题目中给出的是每次设定的两个线段的夹角，我们能不能方便的将其转化成相对于以前的状态旋转了多少角度？

对于第一个问题，我们既然有了每个线段的向量，那么我们只要把这些向量求和，最终所指的位置就是终点，因此我们只要维护好向量的区间和就可以了。对于第二个问题，我们可以用一个数组degree[i]表示第i个向量和第i-1一个向量当前的夹角，这样就有了当前的状态，每次读入操作后就会方便的得到相当于进行旋转多少角度的操作了，然后再更新一下degree[i]即可。并且我们每读入一个操作只会影响一个degree[]的值，不会影响到其他的degree[]。

总而言之，我们要把每个线段看成一个向量，并维护这些向量的区间和，同时要实现对区间中每个元素都加上一个值这一操作。

#include <cstdio>
#include <cmath>
 
#define LSon(x) ((x) << 1)
#define RSon(x) ((x) << 1 | 1)
 
const int MAXN = 10002;
const int ROOT = 1;
const double PI = acos(-1.0);
const double EPS = 1e-8;
 
struct Seg {
    double x, y;
    int flag;
    int degree;
};
 
void Rotate(Seg& node, int degree);
 
struct SegTree {
    Seg node[MAXN << 2];
    void Update(int pos) {
        node[pos].x = node[LSon(pos)].x + node[RSon(pos)].x;
        node[pos].y = node[LSon(pos)].y + node[RSon(pos)].y;
    }
    void Build(int l, int r, int pos) {
        node[pos].x = node[pos].y = 0;
        node[pos].flag = 0;
        node[pos].degree = 0;
        if (l == r) {
            scanf("%lf", &node[pos].y);
            return;
        }
        int m = l + r >> 1;
        Build(l, m, LSon(pos));
        Build(m + 1, r, RSon(pos));
        Update(pos);
    }
    void Push(int pos) {
        Seg& father = node[pos];
        Seg& lson = node[LSon(pos)];
        Seg& rson = node[RSon(pos)];
        if (father.flag) {
            Rotate(lson, father.flag);
            Rotate(rson, father.flag);
            lson.flag += father.flag;
            rson.flag += father.flag;
            father.flag = 0;
        }
    }
    void Modify(int l, int r, int pos, int x, int y, int z) {
        if (x <= l && r <= y) {
            Rotate(node[pos], z);
            node[pos].flag += z;
            return;
        }
        Push(pos);
        int m = l + r >> 1;
        if (x <= m) Modify(l, m, LSon(pos), x, y, z);
        if (y > m) Modify(m + 1, r, RSon(pos), x, y, z);
        Update(pos);
    }
    int Query(int l, int r, int pos, int x) {
        if (l == r) return node[pos].degree;
        Push(pos);
        int m = l + r >> 1;
        if (x <= m) return Query(l, m, LSon(pos), x);
        else return Query(m + 1, r, RSon(pos), x);
    }
};
 
int n, c;
int s, a;
 
SegTree tree;
 
double GetRad(int x);
 
int main() {
    bool first = true;
    while (scanf("%d%d", &n, &c) != EOF) {
        tree.Build(0, n - 1, ROOT);
        printf("%s", first ? first = false, "" : "\n");
        for (int i = 0; i < c; i++) {
            scanf("%d%d", &s, &a);
//由于题目是逆时针转的，我的计算是顺时针，要加上180度,将后面的棒看成依然在Y轴，所以要减去后一个的角度
            int degree = tree.Query(0, n - 1, ROOT, s - 1) + 180 + a -
                tree.Query(0, n - 1, ROOT, s);
            tree.Modify(0, n - 1, ROOT, s, n - 1, degree);
            printf("%.2lf %.2lf\n", tree.node[ROOT].x + EPS, tree.node[ROOT].y + EPS);
        }
    }
 
    return 0;
}
 
double GetRad(int x) {
    return x * PI / 180;
}
 
void Rotate(Seg& node, int degree) {
    double rad = GetRad(degree);
    double x = node.x; double y = node.y;
    node.x = x * cos(rad) + y * -sin(rad);
    node.y = x * sin(rad) + y * cos(rad);
    node.degree = (node.degree + degree) % 360;
}