【CodeForces 577B】Modulo Sum

题

题意

给你n（1 ≤ n ≤ 10⁶）个数a1..an（0 ≤ ai ≤ 10⁹），再给你m（ 2 ≤ m ≤ 10³）如果n个数的子集的和可以被m整除，则输出YES，否则NO。

分析

分两种情况：

　　当n＞m时，s[i]表示a[i]前缀和，s[i]%m的取值为0到m-1，由抽屉原理/鸽巢原理可知，s[i]一定有重复的，假如重复的是s[l]和s[r]，那么s[r]-s[l]也就是l+1到r这些数加起来就是m 的倍数。故答案为YES。

　　当n≤m时，我们用dp[i][j]==1表示前i个数可以得到对m取余为j的子集，每次读入一个a，dp[i][a%m]=1;dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][(m+j-a[i]%m)%m])（j!=a%m,0≤j<m），也就是多了第i张钱能否得到对m取余为j的价格。一旦得到dp[i][0]==1，答案就是YES就不用继续算了。但是这样太浪费空间了，也开不了那么大数组，i最大为10⁶。只要保存上一次的和这一次的就够了。

　　另一种是直接推，根据之前可得到的余数推出这一轮可得到的余数。

代码

dp代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,a;
int dp[][];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m)dp[][]=;
    else
        for(int i=; i<=n; i++)
        {
            for(int j=; j<m; j++)dp[][j]=;
            scanf("%d",&a);
            dp[][a%m]=;

            for(int j=; j<m; j++)
            {
                if(dp[][])break;
                if(j!=a%m)
                    dp[][j]=max(dp[][j],dp[][(m+j-a%m)%m]);
            }
            for(int j=; j<m; j++)
                dp[][j]=dp[][j];
        }
    if(dp[][]) printf("YES");
    else printf("NO");
    return ;
}

另一种代码

思路是mark[i]标记当前所有数余数i能否出现，t[i]记录的之前余数i能否出现。

#include<cstdio>
#include<cstring>
int n,m;
int a;
int mark[],t[];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m)t[]=;
    else
        while(n--)
        {
            scanf("%d",&a);
            memset(mark,,sizeof(mark));
            mark[a%m]=;
            for(int i=; i<m; i++)
            {
                if(t[]) break;
                if(t[i]) mark[(a%m+i)%m]=;
                //如果之前可得到%m=i的价格，那现在就可得到(a%m+i)%m的价格
            }
            for(int i=; i<m; i++)
            {
                if(t[i]==) t[i]=mark[i];
                //保存这一轮的。不能合并到上面一起写
            }
        }
    if(t[]) printf("YES\n");
    else printf("NO\n");
    return ;
}