P1067Warcraft III 守望者的烦恼（十大矩阵问题之七求递推式）

https://vijos.org/p/1067

守望者-warden，长期在暗夜精灵的的首都艾萨琳内担任视察监狱的任务，监狱是成长条行的，守望者warden拥有一个技能名叫“闪烁”，这个技能可以把她传送到后面的监狱内查看，她比较懒，一般不查看完所有的监狱，只是从入口进入，然后再从出口出来就算完成任务了。

描述

头脑并不发达的warden最近在思考一个问题，她的闪烁技能是可以升级的，k级的闪烁技能最多可以向前移动k个监狱，一共有n个监狱要视察，她从入口进去，一路上有n个监狱，而且不会往回走，当然她并不用每个监狱都视察，但是她最后一定要到第n个监狱里去，因为监狱的出口在那里，但是她并不一定要到第1个监狱。

守望者warden现在想知道，她在拥有k级闪烁技能时视察n个监狱一共有多少种方案？

格式

输入格式

第一行是闪烁技能的等级k(1<=k<=10)
第二行是监狱的个数n(1<=n<=2^31-1)

输出格式

由于方案个数会很多，所以输出它 mod 7777777后的结果就行了

样例1

样例输入1[复制]

 

2
4

样例输出1[复制]

 

5

限制

各个测试点1s

提示

把监狱编号1 2 3 4,闪烁技能为2级，
一共有5种方案
→1→2→3→4
→2→3→4
→2→4
→1→3→4
→1→2→4

小提示：建议用int64，否则可能会溢出

分析：快被自己蠢哭了，下午5点开始做这道题一直到现在，9点半。

首先这道题要递推，得出递推式 f[n] = f[n-k] + f[n-k+1] + ...+f[n-1]；怎么退出的呢？到n点分为起点从1开始，从2开始...从n-k（一个k就到n点了)开始，从1开始的方案数就是f[n-1]，从2开始的就相当于从1到n-1，所以可以写成f[n-2],而从n-k点开始的呢，就直接是f[n-k]；

求这个递推式用矩阵来构造举例构造：f[n] = f[n-1] + f[n-2]+f[n-3]

可以写成| 0 1 0 |    | f[n-3] |     | f[n-2] |

           | 0 0 1 | * | f[n-2] | =  | f[n-1] |

           | 1 1 1 |    | f[n-1] |     | f[n-3] + f[n-2] + f[n-1] |

同理原式可以写成 k * K的矩阵，右上角的（k - 1)*(k - 1）主对角线都是一，第k行全为1;

然后就可以写最原始的那个式子了，即:f[1]...f[k],

最后根据n与k的关系分两种情况，k>=n，直接输出，n>k，利用矩阵快速幂求最后的变化矩阵，然后在用他左乘最原始的式子

弱，弱爆了。。。

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 
 int n,k;
 const int mod = ;
 struct Mat
 {
     __int64 mat[][];
 };
 Mat operator * (Mat a, Mat b)
 {
     Mat c;
     memset(c.mat, , sizeof(c.mat));
     for(int t = ; t <= k; t++)
     {
         for(int i = ; i <= k; i++)
         {
             for(int j = ; j <= k; j++)
                 c.mat[i][j] = ( c.mat[i][j] + a.mat[i][t] % mod * ( b.mat[t][j] % mod ) ) % mod;  //就是这里乘法忘了+c.mat[i][j]查了半个小时错，弱爆了
         }
     }
     return c;
 }
 Mat operator ^ (Mat a, int t)
 {
     Mat c;
     for(int i = ; i <= k; i++)
         for(int j = ; j <= k; j++)
             c.mat[i][j] = (i == j);
     while(t)
     {
         if(t & )
             c = a * c;
         a = a * a;
         t >>= ;
     }
     return c;
 }
 int main()
 {
    scanf("%d%d", &k,&n);
    Mat ori,temp,res;
    memset(ori.mat, , sizeof(ori.mat));
    for(int i = ; i <= k; i++)
    {
        for(int j = ; j < i; j++) //这里是处理最原始的那个式子；假设求f[4] ，那么起点可以前3点作为起点，这个好像也能从自己作为起点，所以有个自加，就像f[1] = 1;
        {
            ori.mat[i][] = (ori.mat[j][] + ori.mat[i][]) % mod;
        }
        ori.mat[i][]++;
    }
    if(n <= k)
    {
        printf("%I64d\n",ori.mat[n][] % mod);
    }
    else
    {
        memset(temp.mat, , sizeof(temp.mat));
        for(int i = ; i < k; i++)
        {
            temp.mat[i][i + ] = ;
        }
        for(int i = ; i <= k; i++)
            temp.mat[k][i] = ;
        res = temp ^ (n - k);
        ori = res * ori;
        printf("%I64d\n", ori.mat[k][] % mod);
    }
    return ;
 }