[Noip2012] 开车旅行 （倍增DP，难）

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1047/A

Description

小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即d[i,j] = |Hi− Hj|。 旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。

在启程之前，小 A 想知道两个问题：

1. 对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，则输出海拔最高的那个城市。
2. 对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程总数。

Input

第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。

第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海拔高度，即 H1，H2，……，Hn，且每个 Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M，表示给定 M 组 Si和 Xi。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数 Si和 Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶 Xi公里。

Output

输出共 M+1 行。

第一行包含一个整数 S0，表示对于给定的 X0，从编号为 S0的城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和

Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。

Range

对于30%的数据，有1≤N≤20，1≤M≤20；

对于40%的数据，有1≤N≤100，1≤M≤100；

对于50%的数据，有1≤N≤100，1≤M≤1,000；

对于70%的数据，有1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；

对于100%的数据，有1≤N≤100,000，1≤M≤100,000，-1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，0≤X0≤1,000,000,000，1≤Si≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证Hi 互不相同。

Solution

思路参考于 巨佬YoungNeal 和 算法书：算法竞赛进阶指南

这题的首先一个难点就是预处理。\(ga(i)\) 和 \(gb(i)\) 记为小A和小B从城市 \(i\) 出发按前进方向行驶到的下一个城市。

首先预处理出 A 和 B 每个人从一个城市出发的目标是哪个城市。可以用平衡树找一个点的前驱和后继，或者双向链表。而 \(ga(i)\) 就等于 \(i + 1\) ~ \(N\) 中 使 \(dist(i,j)\) 取到最小值的城市 。\(gb(i)\) 就是取到次最小值的城市 \(j\) 。我当然选择了最偷懒的 set。(upd:这里如果用 set 的话有可能迭代器一直加或者减导致越界，又懒得判断，索性用了 multiset)

本题有三个关键条件：所在城市、已行驶的天数、A和B各行驶的路径长度。所以设\(f[i,j,k(0/1)]\) 表示从城市j出发，两人共行驶\(2^i\) 天，\(k\) 先开车，最终会到达的城市。k = 0 代表小A先开车，k = 1代表小B先开车。

初值 \(f[0,j,0] = ga(j)，f[0,j,1] = gb(j)\)。

当 \(i = 1\) 时，因为\(2^0\) 为奇数，所以两人从\(j\) 出发开 \(2^1\) 天到达的城市，等于 \(k\) 先开 \(2^0\) 天，另一人 \(1 - k\) 再开 \(2^0\) 天到达的城市。

\[f[1,j,k] = f[0,f[0,j,k],1 - k]
\]

当 \(i > 1\) 时，因为 \(2^{i -1}\) 是偶数，所以前后两半路程都轮到 k 先开车。

\[f[i,j,k] = f[i - 1,f[i -1 ,j,j],k]
\]

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100006, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, h[N], x[N], s[N], ga[N], gb[N], w;
int f[18][N][2], da[18][N][2], db[18][N][2], la, lb;
multiset<PII> st;
multiset<PII>::iterator it, it1, it2, it3, it4;

void calc(int S, int X) {
	la = lb = 0;
	int p = S;
	for (int i = w; i >= 0; i--)
		if (f[i][p][0] && la + lb + da[i][p][0] + db[i][p][0] <= X) {
			la += da[i][p][0];
			lb += db[i][p][0];
			p = f[i][p][0];
		}
}

int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	//ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n;
	w = log(n) / log(2);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &h[i]);
	cin >> x[0] >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d %d", &s[i], &x[i]);
	h[0] = 0;
	st.insert(make_pair(inf, 0));
	st.insert(make_pair(-inf, 0));
	st.insert(make_pair(inf, 0));
	st.insert(make_pair(-inf, 0));
	for (int i = n; i; i--) {
		st.insert(make_pair(h[i], i));
		it = st.find(make_pair(h[i], i));
		it1 = (++it);
		it2 = (++it);
		it3 = (--(--(--it)));
		it4 = (--it);
		int a = (*it3).first != -inf ? h[i] - (*it3).first : inf;
		int b = (*it1).first != inf ? (*it1).first - h[i] : inf;
		if (a <= b) {
			gb[i] = (*it3).second;
			a = (*it4).first != -inf ? h[i] - (*it4).first : inf;
			ga[i] = (a <= b ? (*it4).second : (*it1).second);
		}
		else {
			gb[i] = (*it1).second;
			b = (*it2).first != inf ? (*it2).first - h[i] : inf;
			ga[i] = (a <= b ? (*it3).second : (*it2).second);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[0][i][0] = ga[i];
		f[0][i][1] = gb[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[1][i][0] = f[0][f[0][i][0]][1];
		f[1][i][1] = f[0][f[0][i][1]][0];
	}
	for (int i = 2; i < w; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			f[i][j][0] = f[i - 1][f[i - 1][j][0]][0];
			f[i][j][1] = f[i - 1][f[i - 1][j][1]][1];
		}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		da[0][i][0] = abs(h[i] - h[ga[i]]);
		db[0][i][1] = abs(h[i] - h[gb[i]]);
		da[0][i][1] = db[0][i][0] = 0;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		da[1][i][0] = da[0][i][0];
		da[1][i][1] = da[0][f[0][i][1]][0];
		db[1][i][0] = db[0][f[0][i][0]][1];
		db[1][i][1] = db[0][i][1];
	}
	for (int i = 2; i < w; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			da[i][j][0] = da[i - 1][j][0] + da[i - 1][f[i - 1][j][0]][0];
			da[i][j][1] = da[i - 1][j][1] + da[i - 1][f[i - 1][j][1]][1];
			db[i][j][0] = db[i - 1][j][0] + db[i - 1][f[i - 1][j][0]][0];
			db[i][j][1] = db[i - 1][j][1] + db[i - 1][f[i - 1][j][1]][1];
		}
	calc(1, x[0]);
	double ans1[2] = { 1, (lb ? (double)la / lb : inf) };
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		calc(i, x[0]);
		if ((double)la / lb < ans1[1] || (((double)la / lb == ans1[1]) && h[i] > h[(int)ans1[0]])) {
			ans1[0] = i;
			ans1[1] = (double)la / lb;
		}
	}
	cout << ans1[0] << endl;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		calc(s[i], x[i]);
		printf("%d %d\n", la, lb);
	}
}