[算法] 举一反三之n重复数组中找唯一m重复异类数

n重复数组，是指数组中的数字都出现n次；

唯一m重复异类数，是指存在唯一一个没出现n次，只出现了m次的数；

这里我简记它为nX+my问题，求解y，其中m < n，数组中都是整数；

3X+y问题

一直没有精力刷leetcode，今天查问题无意中看到了leetcode 137：给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现了三次；找出那个只出现了一次的元素。要求时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)；

没有在第一时间想到思路，于是花时间研究了一下；

这是一个3X+y的问题；先给出最优解：

        a, b = 0, 0
        for num in nums:
            a =  (a ^ num)  & ~b
            b =  (b ^ num)  & ~a
        return a

在2X+y问题中，方法是使用异或操作一遍全数组，最终结果就是那个异类数，但从未深入想过为什么异或会对2X+y问题有效，因而也就无法想通为什么直接异或会对3X+y问题无效；

再看一遍异或的特点：

0 ^ 0 = 0
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1
1 ^ 1 = 0

仔细看看，这是因为异或可以让一个信息位（前面的那个1bit数），在接收到有效信息量（后面的那个1bit数，值为1时为有效）的时候，产生二态变化；

因而如果要解决3X+y问题，就需要有一个可以产生三态变化的操作符，单纯的异或是肯定不行的，因为要对一个信息位保存三种状态，至少需要两个信息位，因而在原本的数字变量空间上操作是不够的；

假定这个三态异或操作用符号_^3表示；然后用两个信息位(b, a)保存状态，于是三态异或在接收到有效信息量(1)时的运算特点如下（接收到无效信息量0时不产生变化）：

(0, 0)  ^3  1 =  (0, 1)
(0, 1)  ^3  1 =  (1, 0)
(1, 0)  ^3  1 =  (0, 0)

这个三态变化过程，其实是正常的两位二进制数进位加法的一个修改，修改处在于，对于二进制10，再加1时，直接跳过11回到00；

因而这个状态变化过程可描述为：

1. 两位二进制数的低位a，在高位b为0时，进行二态变化；在高位b为1时，归0；
2. 两位二进制数的高位b，在低位a归0时，进行二态变化；在低位a变为1时，保持为0；

可见a与b的变化规律相似，都要求对方为0时自己进行二态变化，对方为1时自己为0，于是上面的最优解的计算过程就很容易写出来了：

        a = (a ^ num) & ~b
        b = (b ^ num) & ~a

3X+2y问题

等等，为什么是return a，而不是return b呢？

首先，上面这段代码里的a、b各是一个数字，它位的每个二进制位组合起来，保存了对整个数组_^3操作过程中每个二进制位的状态变化；

因为这个_^3操作过程中，低位a在第一状态有效，因而要求3X+y问题，需要return a；

因而，如果题目改为：给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现两次以外，其余每个元素均出现了三次；找出那个只出现了两次的元素。

求解这个3X+2y问题，答案也就出来了，计算过程同上，而因为高位b在第二状态有效，因而return b即可；

4X+2y问题

再发散思维，改题目：给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现两次以外，其余每个元素均出现了四次；找出那个只出现了两次的元素。

沿着上面的思路，需要做一个四态异或操作符^₄，同样需要两个信息位进行状态存储，它对于有效信息(1)的运算特点如下：

(0, 0) ^4  1 = (0, 1)
(0, 1) ^4  1 = (1, 0)
(1, 0) ^4  1 = (1, 1)
(1, 1) ^4  1 = (0, 0)

这就是标准的两位二进制数加法，状态变化过程可描述为：

1. 两位二进制数的低位a，正常进行二态变化；
2. 两位二进制数的高位b，在低位a进位的时候进位二态变化；

于是计算过程可写为：

        old_a = a
        a = (a ^ num)
        b = b ^ ((old_a ^ a) & ~a)

其中(old_a ^ a) & ~a，意义为a由1变为0；

由于这个b的计算核心算子是异或，异或与否合用有危险，不把(old_a ^ a)引进来会出现bug；

因为要求的y出现2次，所以需要找第二状态时的有效位，return b；

4X+3y问题

状态数同时为4，计算过程同4X+2y，返回时找第三状态时的有效位，因而也return b；

5X+4y问题

题目修改为：给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现4次以外，其余每个元素均出现了5次；找出那个只出现了4次的元素。

状态数上升到5，需要做一个五态异或操作符^₅，需要3个信息位(c, b, a)做状态存储，对有效信息(1)的运算特点如下：

(0, 0, 0) ^5  1 = (0, 0, 1)
(0, 0, 1) ^5  1 = (0, 1, 0)
(0, 1, 0) ^5  1 = (0, 1, 1)
(0, 1, 1) ^5  1 = (1, 0, 0)
(1, 0, 0) ^5  1 = (0, 0, 0)

状态变化过程可描述为：

1. 三位二进制数的低位a，在高位c为0时，进行二态变化；在高位c为1时，归0；
2. 三位二进制数的中位b，在高位c为0时，低位a进位的时候进位二态变化；在高位c为1时，归0；
3. 三位二进制数的高位c，在低位a和中位b同时归0时，进行二态变化；

计算过程可写为：

        old_a = a
        a = (a ^ num) & ~c
        b = (b ^ ((old_a ^ a) & ~a)) & ~c
        c = (c ^ num) & ~b & ~a

由于y出现的次数是4，高位c在状态4时有效，因而返回c；

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测试代码：

def X3_y1(nums):
    a, b = 0, 0
    for num in nums:
        a =  (a ^ num)  & ~b
        b =  (b ^ num)  & ~a
    return a

def X3_y2(nums):
    a, b = 0, 0
    for num in nums:
        a =  (a ^ num)  & ~b
        b =  (b ^ num)  & ~a
    return b

def X4_y2(nums):
    a, b = 0, 0
    for num in nums:
        old_a = a
        a =  (a ^ num)
        b =  b ^ ((old_a ^ a) & ~a)
    return b

def X4_y3(nums):
    return X4_y2(nums)

def X5_y4(nums):
    a, b, c = 0, 0, 0
    for num in nums:
        old_a = a
        a =  (a ^ num) & ~c
        b =  (b ^ ((old_a ^ a) & ~a)) & ~c
        c =  (c ^ num) & ~b & ~a
    return c

print (X3_y1([2, 3, 2, 2]))  # 3
print (X3_y2([2, 3, 2, 3, 2]))   # 3

print (X4_y2([2, 2, 3, 2, 3, 2]))   # 3
print (X4_y3([2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 2]))   #4
print (X4_y3([5, 5, 8, 5, 8, 8, 5]))   # 8

print (X5_y4([5, 5, 8, 5, 8, 8, 5, 8, 5]))   # 8

执行结果：

3
3
3
4
8
8