【贪心】洛谷 P1199 三国游戏 题解

 这个题尽管题目长，主要还是证明贪心的正确性（与博弈关系不大）

题目描述

小涵很喜欢电脑游戏，这些天他正在玩一个叫做《三国》的游戏。

在游戏中，小涵和计算机各执一方，组建各自的军队进行对战。游戏中共有$N$位武将（$N$为偶数且不小于4），任意两个武将之间有一个“默契值”，表示若此两位武将作为一对组合作战时，该组合的威力有多大。游戏开始前，所有武将都是自由的（称为自由武将，一旦某个自由武将被选中作为某方军队的一员，那么他就不再是自由武将了），换句话说，所谓的自由武将不属于任何一方。

游戏开始，小涵和计算机要从自由武将中挑选武将组成自己的军队，规则如下：小涵先从自由武将中选出一个加入自己的军队，然后计算机也从自由武将中选出一个加入计算机方的军队。接下来一直按照“小涵→计算机→小涵→……”的顺序选择武将，直到所有的武将被双方均分完。然后，程序自动从双方军队中各挑出一对默契值最高的武将组合代表自己的军队进行二对二比武，拥有更高默契值的一对武将组合获胜，表示两军交战，拥有获胜武将组合的一方获胜。

已知计算机一方选择武将的原则是尽量破坏对手下一步将形成的最强组合，它采取的具体策略如下：任何时刻，轮到计算机挑选时，它会尝试将对手军队中的每个武将与当前每个自由武将进行一一配对，找出所有配对中默契值最高的那对武将组合，并将该组合中的自由武将选入自己的军队。 下面举例说明计算机的选将策略，例如，游戏中一共有6个武将，他们相互之间的默契值如下表所示：

双方选将过程如下所示：

小涵想知道，如果计算机在一局游戏中始终坚持上面这个策略，那么自己有没有可能必胜？如果有，在所有可能的胜利结局中，自己那对用于比武的武将组合的默契值最大是多少？

假设整个游戏过程中，对战双方任何时候均能看到自由武将队中的武将和对方军队的武将。为了简化问题，保证对于不同的武将组合，其默契值均不相同。

输入输出格式

输入格式：

共$N$行。

第一行为一个偶数$N$，表示武将的个数。

第2行到第$N$行里，第$i+1$行有$N_i$个非负整数，每两个数之间用一个空格隔开，表示$i$号武将和$i+1,i+1,\cdots ,N$号武将之间的默契值（$0\le$默契值$\le 1,000,000,000$）。

输出格式：

共1或2行。

若对于给定的游戏输入，存在可以让小涵获胜的选将顺序，则输出1，并另起一行输出所有获胜的情况中，小涵最终选出的武将组合的最大默契值。如果不存在可以让小涵获胜的选将顺序，则输出0。

输入输出样例

输入样例#1：

6
5 28 16 29 27
23 3 20 1
8 32 26
33 11
12

输出样例#1：

1
32

输入样例#2：

8
42 24 10 29 27 12 58
31 8 16 26 80 6
25 3 36 11 5
33 20 17 13
15 77 9
4 50
19

输出样例#2：

1
77

说明

【数据范围】

对于$40\%$的数据有$N\le 10$。

对于$70\%$的数据有$N\le 18$。

对于$100\%$的数据有$N\le 500$。

题解：

    首先注意到，在这个题里，计算机是贪心的，也就是说，无论人选什么，它都会尽可能去选与人默契值最大的。想到这里可能会联想到博弈论，因为两个人的目标都是一样的。不过稍加分析会发现，人总是拿不到最优的。

    因为我们选将可以看作一个配对的过程，所以在选将$i$后，第$i$行和第$i$列表格中行和列都是我们的，在自己的行和自己的列交点处就是自己的武将对了。也就是说表格是对称的。

    分析样例可以得知，最优解总是每一行（整理后）排名第二大中最大的那个。也就是说，每一行的最大的那一组电脑是不可能让你选到手的。一旦选择了最大的一组中的其中一个，电脑总可以先手把另一半抢掉，所以每行最大的一组是不可能选出的。而我们要证明次大中最大的那个是一定可以选到的。

    当我们选择了次大中最大的那一行，电脑就毫无疑问会把那一行中最大的一个给选出来。

    此时我们把次大中最大的另一半给配上就可以了。那我们现在拿到了人所可能拿到的最大的一对武将，怎么保证计算机不拿到比自己更大的武将呢？可以看出，比当前已有的默契值更大的武将一定在其他行中处于最大的位置，（假设计算机足够聪明）如果计算机去选了那个位置，人先手去把它抢掉就行了。而计算机并没有那么聪明，它只会避免你去选能选的最大的武将，此时可以分情况讨论。

    计算机此时选择一个武将有两种影响：一是与原来的绿线相交，如果与绿线相交会直接确定一组武将，此时人是阻止不了的。但是我们可以保证现在一条线与绿线的交点值一定小于人的答案。反证：如果那个值比人的答案（五角星）要大而比三角形要小，那么次大中最大的就是这个值，因此这个值不可能在这个范围；而如果那个人的值比三角形还大，那次大中最大的就是三角形了。因此与绿线的交点绝不会超过五角星。

    第二种影响就是不与绿线相交。对于不与绿线相交的部分，只要人去把计算机最大的抢掉，计算机就不可能抢到每一行中最大的那个。

    综上所述，无论人还是计算机都无法抢到每一行中最大的那个，而根据贪心，人去选每行次大元素中最大的一定能选到，此时也能阻止计算机去选更大的元素。同时人不会输。

Code：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using std::sort;
int a[510][510];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            a[j][i]=a[i][j];
        }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sort(a[i]+1,a[i]+1+n);
        ans=ans>a[i][n-1]?ans:a[i][n-1];//选出排名第二中最大的那个
    }
    printf("1\n%d\n",ans);//一定有解
    return 0;
}